28 题型技巧课：恒力线框

题型特征

线框受到恒定外力。

恒力线框分析思路

当成恒力单棒分析即可。

核心方程：电磁感应一键三连。

求焦耳热：动能定理 + 安培力功能关系。

电量：$q=\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{R}=\frac{BS}{R}$

复习：恒力单棒

开始时可能加速可能减速，最终都以 $v_{\mathrm{稳}}$ 匀速运动。

$v_{\mathrm{稳}}$ 与初速度无关，$F_{\mathrm{外}}=F_{\mathrm{安}}=\frac{B^2{L}^2{v}_{\mathrm{稳}}}{R+r}$

先计算 $v_{\mathrm{稳}}$，若

• $v_0<v_{\mathrm{稳}}$：先加速
• $v_0=v_{\mathrm{稳}}$：直接匀速
• $v_0>v_{\mathrm{稳}}$：先减速

恒力线框最典型场景

线框从有界磁场上方自由下落，穿过磁场。

安培力始终是阻力。

稳定速度 $v_m$：

$\frac{B^2{L}^2{v}_m}{R}=mg$

设刚进入或刚离开时的初速度为 $v$，

如果 $v>v_m$，则做加速度减小的减速运动；

如果 $v<v_m$，则做加速度减小的加速运动；

如果 $v=v_m$，则做匀速运动。

当整个线框都在磁场中时，线框做匀加速直线运动。

进出过程运动特点

• 刚离开时的初速度一定大于等于进入时的末速度。

• 进出阶段，加速度 $a$ 要么减小要么不变，不会增加。

• 若加速：加到 $v_m$ 就做匀速，速度不会超过 $v_m$

• 若减速：减到 $v_m$ 就匀速，速度不会小于 $v_m$

例题

题 1

解

$CD$

题 2

TIP

I 就直接当成 v 分析

解

$ACD$

题 3

TIP

a 不会越来越大，越来越陡峭的图线直接排除

解

$A$

题 4

解

$A$

题 5

解

题目意思是匝数不同。

$\frac{n{B}^2{L}^2{v}_m}{R_{\mathrm{单}}}=mg$

所以 $\frac{n_1{B}^2{L}^2{v}_1}{R_{\mathrm{单}1}}=\frac{n_2{B}^2{L}^2{v}_2}{R_{\mathrm{单}2}}$

$n_1{R}_{\mathrm{单}2}{v}_1=n_2{R}_{\mathrm{单}1}{v}_2$

因为 $R_{\mathrm{单}}=\rho \frac{4L}{S}$

所以 $\frac{n_1}{S_2}{v}_1=\frac{n_2}{S_1}{v}_2$

$n_1{S}_1{v}_1=n_2{S}_2{v}_2$

因为质量、材料都相同，所以体积也相同，所以

$4L{S}_1{n}_1=4L{S}_2{n}_2$

$v_1=v_2$

$AB$

题 6

解

线框完全在磁场时没有电流，不产生焦耳热，不产生电能。

在进、出的过程中，其实速度都是 $v_0$，所以进、出过程中产生的电能是相同的。

对进入过程列动能定理，$W_{\mathrm{安}}+mgh=0-0$

$W_{\mathrm{安}}=-mgh$

$Q=-W_{\mathrm{安}}=mgh$

所以 $Q_{\mathrm{总}}=2mgh$

$D$