03 样本的数字特征

• 平均数 $\bar{x}=\frac{a_1+a_2+a_3}{3}$
• 众数，出现频率最高的那个数
• 中位数，样本数的第 50% 个的那个的数据。如果样本数量是奇数，那么就是中间那个数。如果是偶数，那么就是中间那两个数的平均值
• 方差 = $\frac{(\bar{x}-x_1{)}^2+(\bar{x}-x_2{)}^2}{2}$
• $\mathrm{标}\mathrm{准}\mathrm{差}=\sqrt{\mathrm{方}\mathrm{差}}$

方差和标准差的含义都是代表数据的稳定性。数值越大，越不稳定。

方差的历史由来：

一开始，人们这样来描述一组数据的离散型：

$\frac{|\bar{x}-x_1|+|\bar{x}-x_2|...|\bar{x}-x_n|}{n}$

但是这样有个绝对值，有点烦，于是后来人们利用平方将绝对值去掉，于是有了方差：

$\frac{s^2=(\bar{x}-x_1{)}^2+(\bar{x}-x_2{)}^2...(\bar{x}-x_n{)}^2}{n}$

如果再开个根，就变成了标准差：

$s=\sqrt{\frac{(\bar{x}-x_1{)}^2+(\bar{x}-x_2{)}^2...(\bar{x}-x_n{)}^2}{n}}$

例题 1

解：

比较他们的平均值和方差，最后选乙。

例题 2

解：

TIP

求一组数据的平均值，如果他们都是由同一个数据加减一点点数得来的，那么可以他们的平均值其实等于 $\mathrm{相}\mathrm{同}\mathrm{的}\mathrm{那}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{数}+\mathrm{加}\mathrm{减}\mathrm{一}\mathrm{点}\mathrm{点}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{平}\mathrm{均}\mathrm{值}$

$\overline{x_{\mathrm{甲}}}=10+\frac{0.2+0.1-0.2-0.1+0.3-0.3+0-0.1+0.1}{10}=10$

$\overline{x_{\mathrm{乙}}}=10$

$s_{\mathrm{甲}}^2=(10.2-10{)}^2+(10.1-10{)}^2+(10-10{)}^2+(9.8-10{)}^2+...+=0.03$

$s_{\mathrm{乙}}^2=\frac{{0.3}^2+{0.4}^2+{0.4}^2+...+0^2}{10}=0.258$