难度： 困难

标签： 圆锥曲线最值范围问题定点定值问题切线问题双切线问题切点弦方程

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$a=2,b=1$

$C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$

解（2）

设 $A(x_1,y_1)B(x_2,y_2),P(x_0,y_0)$

直线 $AB:\frac{x_{0}x}{4}+y_{0}y=1$

即 $AB:x_{0}x+4y_{0}y-4=0$

$y=\frac{1-\frac{x_{0}x}{4}}{y_0}=-\frac{x_0}{4y_0}x+\frac{1}{y_0}$

$|AB|=\sqrt{1+\frac{x_0^2}{16y_0^2}}|x_1-x_2|$

$=\sqrt{\frac{16y_0^2+x_0^2}{16y_0^2}}\frac{\sqrt{4\times 4\times 1\times 16y_0^2(4x_0^2+16y_0^2-16)}}{4x_0^2+16y_0^2}$

$=\frac{16\times 2}{4}\sqrt{\frac{16y_0^2+x_0^2}{16y_0^2}}\frac{\sqrt{y_0^2(x_0^2+4y_0^2-4)}}{x_0^2+4y_0^2}$

$d=\frac{|x_0^2+4y_0^2-4|}{\sqrt{x_0^2+16y_0^2}}$

$S_{\mathrm{△}PAB}=\frac{1}{2}|AB|d$

$=4\times \frac{1}{|4y_0|}\times \sqrt{16y_0^2+x_0^2}\frac{\sqrt{y_0^2(x_0^2+4y_0^2-4)}}{x_0^2+4y_0^2}\times \frac{|x_0^2+4y_0^2-4|}{\sqrt{x_0^2+16y_0^2}}$

$=\frac{1}{|y_0|}\times \frac{\sqrt{y_0^2(x_0^2+4y_0^2-4)}}{x_0^2+4y_0^2}\times |x_0^2+4y_0^2-4|$

$=\frac{\sqrt{x_0^2+4y_0^2-4}}{x_0^2+4y_0^2}|x_0^2+4y_0^2-4|$

$x_0^2+y_0^2=5$

所以 $S=\frac{\sqrt{1+3y_0^2}(1+3y_0^2)}{5+3y_0^2},y_0\in [-\sqrt{5},\sqrt{5}]$

令 $\sqrt{1+3y_0^2}=t,t\in [1,4]$

$S=\frac{t^3}{t^2+4}$

$=\frac{1}{\frac{1}{t}+\frac{4}{t^3}}\uparrow$

$S_{min}=\frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}$

蒙日圆

有椭圆方程 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，然后有椭圆方程 $x^2+y^2=a^2+b^2$，

那么从圆上任意一点做椭圆的两条切线，这两条切线将都是互相垂直的。

这个圆就称为蒙日圆。

TIP

求高次分式的值域，参考