难度： 困难

标签： 放缩三角放缩

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=x-\frac{1}{2}sinx-\frac{m}{2}lnx+1$，$f^{\prime }(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数。

(1) 证明：当 $m=2$ 时，$f^{\prime }(x)$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上有唯一零点；

(2) 若存在 $x_1,x_2\in (0,+\mathrm{\infty })$，且 $x_1\ne x_2$ 时，$f(x_1)=f(x_2)$，证明：$x_1{x}_2<m^2$

解

第二问

$x_1-\frac{1}{2}sin{x}_1-\frac{m}{2}ln{x}_1+1=x_2-\frac{1}{2}sin{x}_2-\frac{m}{2}{x}_2+1$

三角放缩

$y=x-sinx>0$

$x_1-sin{x}_1<x_2-sin{x}_2$

所以 $sin{x}_2-sin{x}_1<x_2-x_1$

$\frac{m}{2}(ln{x}_2-ln{x}_1)=x_2-x_1-\frac{1}{2}(sin{x}_2-sin{x}_1)>x_2-x_1-\frac{1}{2}(x_2-x_1)$

$\frac{m}{2}(ln{x}_2-ln{x}_1)>\frac{1}{2}(x_2-x_1)$

所以即证 $m>\frac{x_2-x_1}{ln{x}_2-ln{x}_1}>\sqrt{x_1{x}_2}$

$m>\frac{\frac{x_2}{x_1}-1}{ln\frac{x_2}{x_1}}>\sqrt{\frac{x_2}{x_1}}$

令 $\frac{x_2}{x_1}=t>1$

即证 $\frac{t-1}{lnt}-\sqrt{t}>0$

$h(t)=\frac{t-1}{\sqrt{t}}-lnt$

$h^{\prime }(x)=\frac{t-\frac{1}{2}(t-1)}{\sqrt{t}\cdot t}-\frac{1}{t}$

$=\frac{\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}-\sqrt{t}}{t\cdot \sqrt{t}}$

$=\frac{\frac{1}{2}(t-2\sqrt{t}+1)}{t\sqrt{t}}⩾0$

$h(1)=0$

所以 $h(t)>0$

所以题目得证。