难度： 简单

标签： 柯西不等式最值问题求取值范围

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知实数 $a,b,c,d$ 满足 $a+b+c+d=3,a^2+2b^2+3c^2+6d^2=5$，则 $a$ 的取值范围是____.

解

由题意得，

$b+c+d=3-a$

$2b^2+3c^2+6d^2=5-a^2$

所以

$[(\sqrt{2}b{)}^2+(\sqrt{2}c{)}^2+(\sqrt{6}d{)}^2]\cdot [(\frac{1}{\sqrt{2}}{)}^2+(\frac{1}{\sqrt{3}}{)}^2+(\frac{1}{\sqrt{6}}{)}^2]⩾(b+c+d{)}^2$

$(5-a^2)(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6})⩾a^2-6a+9$

$2a^2-6a+4⩽0$

$a^2-3a+2⩽0$

$(a-1)(a-2)⩽0$

$\therefore a\in [1,2]$

当 $2b=3c=6d=k$ 时去等，算出来

$\{\begin{array}{l}b=\frac{1}{2}\\ c=\frac{1}{3}\\ d=\frac{1}{6}\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}b=1\\ c=\frac{2}{3}\\ d=\frac{1}{3}\end{array}$ 时取等。