自由落体

亚里士多德的研究

对落体的研究最早的人是希腊哲学家亚里士多德。他认为重的物体下落得比轻的物体快，但是他并没有做试验证明。

伽利略的研究

伽利略通过逻辑推理，反驳了亚里士多德的重的物体下落得快的观点。

伽利略的逻辑推理：如果重的物体下落得快，那么两个物体绑在一起，更重，应该下落得更快；但是从另外个方面想，如果一个物体轻，一个物体重，那么一个速度快，一个速度慢，会导致整体更慢。所以矛盾，虚体下落得快与重量没有关系。

伽利略指出问题

并非重的物体下落得快。

伽利略对落体运动的猜测

轻和重不影响落体速度，落体运动速度和时间成正比。

进行数学推理

如果 $v\propto t$，则有 $x\propto t^2$。

为什么要进行数学推理呢？

如果是现在，我们只需要测出多次物体的在 t 时刻的速度，然后看 v 和 t 是否符合关系 $v=kt$。如果 k 为常数，那么就证明猜测是对的。

但是在伽利略那个年代试验条件十分简陋，是不能直接测出瞬时速度的。

于是聪明的伽利略通过数学推理，得出如果 $v\propto t$，则有 $x\propto t^2$（$\propto$ 正比符号）

这样只需要测时间和位移，不用再测速度，就能间接得出实验结果。

实验设计

设计斜面实验证明 $x\propto t^2$

如果直接测小球从高空落下的时间，小球落得太快了，时间测不准。于是伽利略整了一个光滑的斜面，让小球跑得慢一点，方便测时间。

先看小球在斜面上是否符合猜想，然后一点点增大斜面与水平面的夹角，再重新实验。

最后证明了在光滑斜面上物体下落速度 $x\propto t^2$

合理外推

将光滑斜面物体运动规律推广到落体运动。

得出结论

得出结论：$v\propto t$。

伽利略研究落体运动的相关考点

伽利略研究的顺序

1. 提出（指出）问题
2. 猜想
3. 数学推理
4. 实验
5. 外推
6. 得出结论

伽利略开创了实验和逻辑推理结合的科学研究方法。

伽利略在自由落体实验中并没有直接测速度。

伽利略让小球在光滑斜面上运动是为了方便测时间。

自由落体运动

初速度为 0，只受重力的运动。

或者说是 $v_0=0,a=g$ 的匀加速直线运动。

g 为重力加速度，大小为 $10m/s^2$，方向竖直向下

注意，如果题目中没提空气阻力，就认为忽略不计

自由落体公式

$$\{\begin{array}{l}v=v_0+at\\ x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2\\ v_t^2-v_0^2=2ax\end{array}⟹\{\begin{array}{l}v=gt\\ h=\frac{1}{2}g{t}^2\\ v^2=2gh\end{array}$$

$v_0=0,a=g$

例题

题 1

从离地面 80m 的空中自由落下一个小球，取 $g=10m/s^2$，求：

（1）经过多长时间落到地面；

（2）自开始下落时计时，在第 1s 内和最后 1s 内的位移

（3）下落时间为总时间的一半时的位移。

解

（1）

由 $x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$ 得

$80=\frac{1}{2}\times 10t^2$

$80=5t^2$

$t^2=14$

$t=4s$

（2）

$x_1=\frac{1}{2}\times 10\times 1$

$=5m$

$x_3=\frac{1}{2}\times 10\times 9$

$=45m$

$x_{\mathrm{倒}1}=x-x_3=80-45=35$

（3）

$x_{t\mathrm{半}}=\frac{1}{2}\times 10\times 4$

$=20m$

题 2

一个物体从某个高度做自由落体运动，它在第 1s 内的位移恰好等于它最后 1s 内位移的 1/4，取 $g=10m/s^2$，求：

（1）第 1s 内下落的距离；

（2）物体在空中运动的时间；

（3）物体开始下落时离地面的高度。

解

（1）

由 $x=v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$ 得

$x_1=\frac{1}{2}\times 10\times 1$

$=5m$

（2）

$x_{\mathrm{倒}1}=4x_1=20m$

$\overline{v_{\mathrm{倒}1}}=\frac{20}{1}=20m/s$

由 $v=v_0+at$ 得

$20=10t$

$t=2s$

$\therefore t_{\mathrm{总}}=t+0.5=2.5s$

（3）

$x=\frac{1}{2}\times 10\times 2.5\times 2.5$

$31.25$

题 3

如图所示，悬挂的直杆 AB 长为 a，在 AB 以下 h 处有一长为 b 的无底圆柱筒 CD，若将悬线剪断，问：

（1）直杆下端 B 穿过圆柱筒的时间是多长？

（2）整个直杆 AB 穿过圆柱筒的时间是多长？

解

（1）

由 $2ax=v_t^2-v_0^2$ 得

$2gh=v_c^2$

$v_c=\sqrt{2gh}$

$2g(b+h)=v_D^2$

$v_D=\sqrt{2g(b+h)}$

由 $v_t=v_0+at$ 得

$v_D=v_C+at$ 得

v_D=v_C+gt$

$t=\frac{\sqrt{2g(b+h)}-\sqrt{2gh}}{g}$

（2）

$2g(a+b+h)=v_{AB}^2$

$v_{AB}=\sqrt{2g(a+b+h)}$

$v_{AB}=v_C+at$

$t=\frac{\sqrt{2g(a+b+h)}-\sqrt{2gh}}{g}$

题 4

意大利物理学家伽利略对自由落体运动的研究，不仅确立了许多应用于描述运动的基本概念，而且创立了一套对近代科学的发展极为有益的科学方法，或者说给出了科学研究过程的基本要素，这些要素包含以下几个环节，其中排序最合理的是（）

1. 运用数学推理
2. 通过实验对推理进行验证
3. 对现象的一般观察，发现问题
4. 提出猜想
5. 合理外推
6. 最后把结论推广应用

$A.423156$

$B.341526$

$C.341256$

$D.431256$

解

$C$

题 5

意大利著名物理学家伽利略开科学实验之先河，奠定了现代物理学的基础。图示是他做了上百次的铜球沿斜面运动的实验示意图。关于该实验，下列说法中错误的是（）

$A.\mathrm{它}\mathrm{是}\mathrm{伽}\mathrm{利}\mathrm{略}\mathrm{研}\mathrm{究}\mathrm{自}\mathrm{由}\mathrm{落}\mathrm{体}\mathrm{运}\mathrm{动}\mathrm{的}\mathrm{实}\mathrm{验}$

$B.\mathrm{伽}\mathrm{利}\mathrm{略}\mathrm{研}\mathrm{究}\mathrm{发}\mathrm{现}：\mathrm{斜}\mathrm{面}\mathrm{倾}\mathrm{角}\mathrm{一}\mathrm{定}，\mathrm{从}\mathrm{不}\mathrm{同}\mathrm{高}\mathrm{度}\mathrm{开}\mathrm{始}\mathrm{滚}\mathrm{动}，\mathrm{小}\mathrm{球}\mathrm{的}\mathrm{加}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{各}\mathrm{不}\mathrm{相}\mathrm{同}$

$C.\mathrm{伽}\mathrm{利}\mathrm{略}\mathrm{设}\mathrm{想}，\mathrm{图}\mathrm{中}\mathrm{斜}\mathrm{面}\mathrm{的}\mathrm{倾}\mathrm{角}\mathrm{越}\mathrm{接}\mathrm{近}{90}^{\circ }$，小球沿斜面滚下的运动就越接近自由落体运动

$D.\mathrm{伽}\mathrm{利}\mathrm{略}\mathrm{认}\mathrm{为}，\mathrm{若}\mathrm{发}\mathrm{现}\mathrm{斜}\mathrm{面}\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{小}\mathrm{球}\mathrm{都}\mathrm{做}\mathrm{匀}\mathrm{加}\mathrm{速}\mathrm{直}\mathrm{线}\mathrm{运}\mathrm{动}，\mathrm{则}\mathrm{自}\mathrm{由}\mathrm{落}\mathrm{体}\mathrm{运}\mathrm{动}\mathrm{也}\mathrm{是}\mathrm{匀}\mathrm{加}\mathrm{速}\mathrm{直}\mathrm{线}\mathrm{运}\mathrm{动}$

解

$B$ 错。

题 6

伽利略以自由落体运动为突破口，开创了近代物理学的研究方法，则关于伽利略对自由落体运动的研究，下列说法不正确道的是（）

$A.\mathrm{伽}\mathrm{利}\mathrm{略}\mathrm{通}\mathrm{过}\mathrm{逻}\mathrm{辑}\mathrm{推}\mathrm{理}\mathrm{驳}\mathrm{斥}\mathrm{了}\mathrm{亚}\mathrm{里}\mathrm{士}\mathrm{多}\mathrm{德}“\mathrm{重}\mathrm{物}\mathrm{下}\mathrm{落}\mathrm{快}”\mathrm{的}\mathrm{说}\mathrm{法}$

$B.\mathrm{伽}\mathrm{利}\mathrm{略}\mathrm{猜}\mathrm{想}v\propto x\mathrm{和}v\propto t\mathrm{两}\mathrm{种}\mathrm{可}\mathrm{能}，\mathrm{并}\mathrm{通}\mathrm{过}\mathrm{实}\mathrm{验}\mathrm{测}\mathrm{出}v\propto x\mathrm{不}\mathrm{正}\mathrm{确}$

$C.\mathrm{伽}\mathrm{利}\mathrm{略}\mathrm{通}\mathrm{过}“\mathrm{斜}\mathrm{面}\mathrm{实}\mathrm{验}”\mathrm{来}\mathrm{研}\mathrm{究}\mathrm{落}\mathrm{体}\mathrm{运}\mathrm{动}\mathrm{规}\mathrm{律}\mathrm{是}\mathrm{为}\mathrm{了}\mathrm{便}\mathrm{于}\mathrm{测}\mathrm{量}\mathrm{时}\mathrm{间}$

$D.\mathrm{伽}\mathrm{利}\mathrm{略}\mathrm{开}\mathrm{创}\mathrm{了}\mathrm{实}\mathrm{验}\mathrm{和}\mathrm{逻}\mathrm{辑}\mathrm{推}\mathrm{理}\mathrm{相}\mathrm{结}\mathrm{合}\mathrm{的}\mathrm{科}\mathrm{学}\mathrm{研}\mathrm{究}\mathrm{方}\mathrm{法}$

解

A. 虽然伽利略通过逻辑推理加实验证明了 $v\propto t$，但他确实只用逻辑推理就推翻了亚里士多德“重物下落快”的说法。A 对。

B，伽利略并没有测速度。当时的条件测不出来速度。

选 B。

题 7

关于亚里士多德和伽利略对自由落体运动研究的事实，下列叙述错误的是（）

$A.\mathrm{伽}\mathrm{利}\mathrm{略}\mathrm{认}\mathrm{为}，\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{没}\mathrm{有}\mathrm{空}\mathrm{气}\mathrm{阻}\mathrm{力}，\mathrm{重}\mathrm{物}\mathrm{与}\mathrm{轻}\mathrm{物}\mathrm{应}\mathrm{该}\mathrm{下}\mathrm{落}\mathrm{得}\mathrm{同}\mathrm{样}\mathrm{快}$

$B.\mathrm{伽}\mathrm{利}\mathrm{略}\mathrm{把}\mathrm{实}\mathrm{验}\mathrm{和}\mathrm{逻}\mathrm{辑}\mathrm{推}\mathrm{理}\mathrm{结}\mathrm{合}\mathrm{起}\mathrm{来}，\mathrm{从}\mathrm{而}\mathrm{发}\mathrm{展}\mathrm{了}\mathrm{人}\mathrm{类}\mathrm{的}\mathrm{科}\mathrm{学}\mathrm{思}\mathrm{维}\mathrm{方}\mathrm{式}\mathrm{和}\mathrm{科}\mathrm{学}\mathrm{研}\mathrm{究}\mathrm{方}\mathrm{法}$

$C.\mathrm{伽}\mathrm{利}\mathrm{略}\mathrm{用}\mathrm{实}\mathrm{验}\mathrm{直}\mathrm{接}\mathrm{证}\mathrm{实}\mathrm{了}\mathrm{自}\mathrm{由}\mathrm{落}\mathrm{体}\mathrm{运}\mathrm{动}\mathrm{是}\mathrm{初}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{为}\mathrm{零}\mathrm{的}\mathrm{匀}\mathrm{加}\mathrm{速}\mathrm{直}\mathrm{线}\mathrm{运}\mathrm{动}$

$D.\mathrm{亚}\mathrm{里}\mathrm{士}\mathrm{多}\mathrm{德}\mathrm{认}\mathrm{为}\mathrm{中}\mathrm{的}\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{比}\mathrm{轻}\mathrm{的}\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{下}\mathrm{落}\mathrm{得}\mathrm{快}$

解

$C$

伽利略是通过斜面实验 + 合理外推间接得出结论的。

$D$ 虽然他的观点是错误的，但他确实说了这句话。

题 8

为了测量水井从井口到水面的距离，将一颗小石子从与井口齐平的位置由静止释放，经 2s 听到石字落水的声音，忽略空气阻力和声音传播的时间，重力加速 $g=10m/s^2$。石子在下落的过程中，第 1s 末的速度大小为____m/s；井口至水面的距离为____m。

解

$v=gt$

$v=10m/s$

$h=\frac{1}{2}g{t}^2$

$h=\frac{1}{2}\times 10\times 4=20m$

题 9

一物体从高度 80m 处做自由落体运动，它从最高点落到最低点所用的时间为（）（g=10m/s^2）

$A.1\mathrm{秒}$$B.3\mathrm{秒}$$C.4\mathrm{秒}$$D.5\mathrm{秒}$

解

$h=\frac{1}{2}g{t}^2$

$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=4s$

选 $C$

题 10

李白的《望庐山瀑布》，描述了庐山瀑布的美景，如果三尺为 1 米，则水落到地面的速度约为（设初速度为零，且不计空气阻力）（）

$A.100m/s$

$B.140m/s$

$C.200m/s$

$D.2000m/s$

Details

$h=1000m$

$v^2=2gh$

$v=\sqrt{20\times 1000}$

$=100\sqrt{2}=140$

选 $B$