难度： 困难

标签： 导数题对数单身狗指数找基友必要性探路端点效应

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

若不等式 $\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}>\frac{lnx}{x-1}+\frac{k}{x}$，在 $x>0$ 时且 $x\ne 1$ 时恒成立，求 k 的取值范围。

解

$\frac{lnx}{x+1}+\frac{1}{x}>\frac{lnx}{x-1}+\frac{k}{x}$

$lnx(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1})+\frac{1-k}{x}>0$

$lnx\cdot \frac{-2}{x^2-1}+\frac{1-k}{x}>0$

提取系数的时候，常数项可以不提。

$\frac{1}{1-x^2}(2lnx+\frac{(1-x^2)(1-k)}{x})>0$

$\frac{1}{1-x^2}(2lnx+(\frac{1}{x}-x)(1-k))>0$

令 $g(x)=2lnx+(\frac{1}{x}-x)(1-k)$

$\{\begin{array}{l}0<x<1,g(x)>0\\ x>1,g(x)<0\end{array}$

$g^{\prime }(x)=\frac{2}{x}+(1-k)(-\frac{1}{x^2}-1)$

$=\frac{2x}{x^2}+(k-1)(\frac{1}{x^2}+\frac{x^2}{x^2})$

$=\frac{(k-1)x^2+2x+k-1}{x^2}$

必要性探路

$\therefore g^{\prime }(1)=\frac{k-1+2+k-1}{2}=\frac{2k}{2}⩽0$

$k⩽0$

下证，$k⩽0$ 为正确答案。

1. $k⩽0$

$g^{\prime }(x)<0,g(x)\downarrow$，符合题意。

2. $k>0$

1）$0<k<1$

$\mathrm{\Delta }=4-4(k-1{)}^2>0$

$x_1{x}_2=1$

$x_1+x_2=\frac{2}{1-k}>0$

所以 $0<x_1<1<x_2$

$g(1)=0$

不符条件。

2）$k=1$

$2k>0,x>0$

$\therefore g^{\prime }(x)>0,g(x)\uparrow$

不符题意

3. $1<k<2$

$\mathrm{\Delta }=4k(2-k)>0$

$x_1{x}_2=1,x_1+x_2=\frac{2}{1-k}<0$

所以 $x>0,g^{\prime }(x)>0,g(x)\uparrow$

不符题意

4)$k⩾2$

$\mathrm{\Delta }=4k(2-k)⩽0$

所以 $x>0,g^{\prime }(x)>0,g(x)\uparrow$

不符题意

综上，$k⩽0$