难度： 困难

标签： 导数题零点差问题曲线拟和曲线不等式

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

曲线拟和问题解题技巧

题中会给你一个不等式，然后使用这个不等式进行放缩操作解得答案，或则利用这个不等式解出 $x$ 的范围。

TIP

我们在研究函数问题时，如果题目中给出了一些函数，但并没有要求求出其单调性、最值，我们自己最好还是算下其单调性、最值，这样这可能会得到一些隐含条件，比如定义域的范围必须限制在一定区域内。

已知函数 $f(x)=\frac{x+1}{e^x}$

（1）当 $x>-1$ 时，求函数 $g(x)=f(x)+x^2-1$ 的最小值；

（2）已知 $x_1\ne x_2,f(x_1)=f(x_2)=t$，求证：$|x_1-x_2|>2\sqrt{1-t}$

第一问

$f(x)=\frac{x+1}{e^x}$

$x>-1,g(x)=f(x)+x^2-1$

$g(x)=\frac{x+1}{e^x}+x^2-1$

$g^{\prime }(x)=\frac{e^x-(x+1)e^x}{e^{2x}}+2x$

$=-\frac{x}{e^x}+2x$

$=x(2-\frac{1}{e^x})$

$-1<x<ln\frac{1}{2},g^{\prime }(x)>0,g(x)\uparrow$

$ln\frac{1}{2}<x<0,g^{\prime }(x)<0,g(x)\downarrow$

$x>0,g^{\prime }(x)>0,g(x)\uparrow$

$g(-1)=0,g(0)=0$

$\therefore g(x{)}_{min}=0$

第二问

$f^{\prime }(x)=-\frac{e}{e^x}$

$-1<x<0,f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

$x>0,f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

$\because f(x_1)=f(x_2)=t$

设 $x_2>x_1$，则 $-1<x_1<0<x_2$

$f(x{)}_{max}=f(0)=1$

$0<t<1$

由（1）知，$\frac{x+1}{e^x}+x^2-1>0,x>-1$

$所以 $\frac{x+1}{e^x}>1-x^2$

$f(x_1)=\frac{x_1+1}{e^{x_1}}=t$

$f(x_2)=\frac{x_2+1}{e^{x_2}}=t$

所以 $t>1-x_1^2$

$x_1^2>1-t$

$x_1>\sqrt{1-t}(\mathrm{舍}\mathrm{去})\mathrm{或}{x}_1<-\sqrt{1-t}$

同理，

$t>1-x_2^2$

$x_2^2>1-t$

$x_2>\sqrt{1-t}\mathrm{或}x<-\sqrt{1-t}(\mathrm{舍}\mathrm{去})$

所以 $x_2>\sqrt{1-t},x_1<-\sqrt{1-t}$

$|x_1-x_2|=x_2-x_1>2\sqrt{1-t}$