椭圆的第三定义

椭圆的第三定义

假设有 1 个椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b 或 a < b 都行)

设椭圆的左顶点为 $A(x_1,y_1)$，右顶点为 $B(x_2,y_2)$，椭圆上有 1 个动点 $P$，

直线 $PA$ 的斜率为 $k_1$，直线 $PB$ 的斜率为 $k_2$

那么有椭圆的第三定义：

$$k_1{k}_2=-\frac{b^2}{a^2}$$$$k_1{k}_2=-\frac{b^2}{a^2}=e^2-1$$

同理

通过点差法证明

将 $AP$ 中点设为 $M$，连接 $OM$

那么通过点差法，可以得出

点差法详细步骤

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

$\{\begin{array}{l}\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{y_1^2}{b^2}=1\\ \frac{x_2^2}{a^2}+\frac{y_2^2}{b^2}=1\end{array}$

两式相减，得

$\frac{x_2^2-x_1^2}{a^2}+\frac{y_2^2-y_1^2}{b^2}=0$

$\frac{(x_2-x_1)(x_2+x_1)}{a^2}=-\frac{(y_2-y_1)(y_2+y_1)}{b^2}$

$-\frac{b^2}{a^2}=\frac{(y_2-y_1)(y_2+y_1)}{(x_2-x_1)(x_2+x_1)}$

$-\frac{b^2}{a^2}=\frac{(y_2-y_1)\frac{(y_2+y_1)}{2}}{(x_2-x_1)\frac{(x_2+x_1)}{2}}$

$-\frac{b^2}{a^2}=\frac{(y_2-y_1)y_M}{(x_2-x_1)x_M}$

$k_{OM}\cdot k_{PA}=-\frac{b^2}{a^2}$

因为 M 是 AP 中点，O 是 AB 中点，所以 $k_{PB}=k_{OM}$

所以 $k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{b^2}{a^2}$

适用范围推广

推广 1

只要是 A，B 两个定点关于原点对称，那么对于椭圆上的动点 $P(x_p,y_p)$，都有结论：

$k_{PA}\cdot k_{PB}=-\frac{b^2}{a^2}$

证明方式同上，也是通过点差法证明。

推广 2

椭圆中，一条弦的中点与原点的连线的斜率，与这条弦的斜率的乘积为 $-\frac{b^2}{a^2}$。

用点差法证明。

例题