难度： 中等

标签： 计算基本不等式双钩函数最值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

$a,b$ 为非负实数，求 $\frac{(a+1)(b+2)}{a^2+b^2+1}$ 的最大值。

TIP

对于 $t+\frac{1}{t},\frac{t^2+1}{t},\frac{t}{t^2+1}\mathrm{这}\mathrm{样}\mathrm{形}\mathrm{如}\mathrm{双}\mathrm{钩}\mathrm{函}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{式}\mathrm{子}，\mathrm{都}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{使}\mathrm{用}\mathrm{基}\mathrm{本}\mathrm{不}\mathrm{等}\mathrm{式}$

解

法一：

将包含两个未知数的式子通过变形使得可以通过不等式变形放缩变为只包含一个未知数的式子。

$\frac{(a+1)(b+2)}{a^2+b^2+1}=\frac{(a+1)(b+2)}{(a+1{)}^2-2(a+1)+b^2+2}=\frac{b+2}{(a+1)-2+\frac{b^2+2}{a+1}}$

分母 $\ge 2\sqrt{b^2+2}-2$，所以整个式子

$\mathrm{原}\mathrm{式}⩽\frac{b+2}{2\sqrt{b^2+2}-2}$

接下来我们的目标就是求 $h(x)=\frac{b+2}{2\sqrt{b^2+2}-2}$ 的最大值。

可以通过判别式法或求导法来求出 $h(x)$ 的最大值。然后题目答案就得出了。

法二：

直接令 $\frac{(a+1)(b+2)}{a^2+b^2+1}=t$

$t{a}^2-(b+2)a+t{b}^2+t-b-2=0$

这个式子要成立必须满足条件 $\mathrm{\Delta }⩾0$

即 $(b+2{)}^2⩾4t(t{b}^2+t-b-2)$

$(1-4t^2)b^2+(4+4t)b-4t^2+8t+4⩾0$

当 $t^2⩽\frac{1}{4}$ 时，这个二次函数开口向上。恒有解。因为我们是要求 t 的最大值。所以需要讨论 $t^2⩾\frac{1}{4}$ 的情况。

当 $t^2⩾\frac{1}{4}$，要向使这个二次函数有解，则必须满足

$\mathrm{\Delta }\ge 0$

即 $(4+4t{)}^2\ge 4(1-4t^2)(-4t^2+8t+4)$

整理得 $2t^2-4t-3\le 0$

$t\le 1+\frac{\sqrt{1}0}{2}$

所以 $t_{max}=1+\frac{\sqrt{1}0}{2}$