11 考点 - 错位相减法求数列的和 (重要)

如果数列考答题，第二问很大概率是求和。那么有哪些求和方法呢？

1. 等差、等比使用求和公式

2. 错误相减法

3. 裂项相消

4. 倒序相加

5. 分组求和

6. 数学归纳法

这里主要讲错位相减法。

错位相减法

当一个等差数列乘以一个等比数列形成的新数列时 $\{a_n\cdot b_n\}$，我们就可以使用错位相减法。

（等比数列求和公式推导用的就是错位相减法，等比数列可以看做是一个等比数列与公差为 0，首项为 1 的等差数列相乘）。

例题 1

已知数列 $\{a_n\}$ 的前 n 项和为 $S_n$，且满足 $S_n=2a_n-2n-1,(n\in N^{\ast })$.

(1) 求证：数列 $\{a_n+2\}$ 是等比数列；

(2) 求数列 $\{n\cdot (a_n+2)\}$ 的前 n 项和。

解：

（1）

TIP

题目叫我们证明 $a_n+2$ 是等比数列，一种方法是算出 $a_n$ 的通项公式，也就求出了 $\{a_n+2\}$ 的通项公式。

还有一种方法是求出 $a_n+2$ 和 $a_{n-1}$ 的关系等式，也能证明它是等比数列！

$S_n=2a_n-2n-1$

$S_n=2a_{n-1}-2(n-1)-1=2a_{n-1}-2n+1,n\ge 2$

$a_n=2a_{n-1}+2$

$a_n+2=2(a_{n-1}+2)$

即 $\frac{a_n+2}{a_{n-1}+2}=2$，所以 $\{a_n+2\}$ 是等比数列。

$a_1=2a_1-3$

$a_1=3$

所以 $\{a_n+2\}$ 是首项为 5，等比为 2 的等比数列。

（2）

$\{n\cdot 5\cdot 2^{n+1}\}$

$S_n=5\times 1\times 2^0+5\times 2\times 2^1+5\times 3\times 2^2+...+5n\cdot 2^{n-1}$

$2S_n=5\times 1\times 2^1+5\times 2\times 2^2+5\times 3\times 2^3+...+5(n-1)\cdot 2^{n-1}+5n\cdot 2^n$

$2S_n-S_n=-5-5\times 2^1-5\times 2^2-...-5\times 2^{n-1}+5n\cdot 2^n$

$=-5(2^0+2^1+...+2^{n-1})+5n\cdot 2^n$

$=-5\times \frac{(1-2^n)}{1-2}+5n\cdot 2^n$

$=5(1-2^n)+5n\cdot 2^n$

$=5+5(n-1)2^n$

通用公式

$a_n=a_1+(n-1)d$

$b_n=b_1\cdot q^{n-1}$

$S_n=a_1{b}_1+a_2{b}_2+...+a_n{b}_n$

$S_n=a_1{b}_1+(a_1+d)b_{1}q+(a_1+2d)b_1{q}^2+...+(a_1+(n-1)d)b_1{q}^{n-1}$

$q{S}_n=a_1{b}_{1}q+(a_1+d)b_1{q}^2+...+[a_1+(n-2)d]b_1{q}^{n-1}+(a_1+(n-1)d)b_1{q}^n+a_n{b}_{n+1}$

$(q-1)S_n=-a_1{b}_1-d(q+q^2+q^3+...+q^{n-1})+a_n{b}_{n+1}$

$S_n=\frac{-a_1{b}_1-d{b}_1(q+q^2+q^3+...+q^{n-1})+a_n{b}_{n+1}}{(q-1)}$