难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题恒成立问题存在问题零点方程条件转换

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 出现多个量词“存在”、“任意”、“恒成立”时，不知道怎么翻译条件。只需要先翻译“使得”两字所在的那句话，然后再翻译其它的话。

已知 $a>0$，函数 $f(x)=ax-x{e}^x$

（I）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(0,f(0))$ 处的切线方程； （II）证明 $f(x)$ 存在唯一的极值点； （III）若存在 a，使得 $f(x)⩽a+b$ 对任意 $x\in R$ 成立，求实数 b 的取值范围。

第一问

$(0,f(0))=(0,0)$

$f^{\prime }(x)=a-(e^x+x{e}^x)$

$f^{\prime }(0)=a-(-1)=a-1$

所以 $y=(a-1)x$

第二问

$f^{\prime }(x)=a-e^x(1+x)$

$f^{\prime \prime }(x)=-[e^x(1+x)+e^x]$

$=-e^x(x+2)$

所以在 $(-\mathrm{\infty },-2),f^{\prime \prime }>0,f^{\prime }(x)\uparrow$

在 $(-2,+\mathrm{\infty }),f^{\prime \prime }<0,f^{\prime }(x)\downarrow$

$f^{\prime }(x{)}_{max}=f^{\prime }(-2)=a+e^{-2}>0$

当 $x\to +\mathrm{\infty },f^{\prime }(x)\to -\mathrm{\infty }$

当 $x\to -\mathrm{\infty },f^{\prime }(x)\to a$

所以存在 $x_0$ 使得 $f^{\prime }(x_0)=a-e^{x_0}(1+x_0)=0$

第三问

由（II）知，存在 $x_0>-2$，使得 $f^{\prime }(x_0)=a-e^{x_0}(1+x_0)=0$

先翻译“使得”所在的那句话，

$f(x{)}_{max}⩽a+b$

$f(x{)}_{max}=f(x_0)=a{x}_0-x_0{e}^{x_0}$

即 $a{x}_0-x_0{e}^{x_0}⩽a+b$

$a(x_0-1)-x_0{e}^{x_0}⩽b$

$e^{x_0}(x_0^2-1)-x_0{e}^{x_0}⩽b$

接下来再翻译“若存在 a，使得……”这句话，因为 $a$ 与 $x_0$ 是一一对应的关系，所以其实是说存在 $x_0$，使得……

所以 $(e^{x_0}(x_0^2-1)-x_0{e}^{x_0}{)}_{min}⩽b$

令 $g(x)=e^x(x^2-1)-x{e}^x,x>-2$

$g^{\prime }(x)=e^x(x^2+x-2)=e^x(x-1)(x+2)$

所以在 $(-2,1),g^{\prime }(x)<0,g(x)\downarrow$

在 $(1,+\mathrm{\infty }),g^{\prime }(x)>0,g(x)\uparrow$

$g(x{)}_{min}=g(1)=-e$

所以 $b⩾-e$