难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题韦达定理统一变量十字相乘法

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=alnx+x^2-(a+2)x(a>0)$

（1）讨论函数 $f(x)$ 的单调性；

（2）设 $x_1,x_2(0<x_1<x_2)$ 是函数 $g(x)=f(x)-\frac{1}{2}{x}^2+(a+1)x$ 的两个极值点。证明：$g(x_1)-g(x_2)<\frac{1}{2}$

第一问

$f^{\prime }(x)=\frac{a}{x}+2x-a-2$

$=\frac{2x^2-(a+2)x+a}{x}$

$=\frac{(x-1)(2x-a)}{x}$

当 $a=2$ 时，

$f^{\prime }(x)⩾0$

$f(x)$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 单调递增

当 $0<a<2$,

在 $(0,\frac{a}{2}),f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

在 $(\frac{a}{2},1),f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

在 $(1,+\mathrm{\infty }),f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

当 $a>2$

在 $(0,1),f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

在 $(1,\frac{a}{2}),f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

在 $(\frac{a}{2},+\mathrm{\infty }),f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

第二问

$g(x)=f(x)-\frac{1}{2}{x}^2+(a+1)x$

$=alnx+x^2-(a+2)x-\frac{1}{2}{x}^2+(a+1)x$

$=alnx+\frac{1}{2}{x}^2-x,x>0,a>0$

$g^{\prime }(x)=x-1+\frac{a}{x}$

$=\frac{x^2-x+a}{x}$

因为有两个极值点

所以

$x^2-x+a=0$ 有两个解 $x_1,x_2(0<x_1<x_2)$

$\{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }=1-4a>0\\ a>0\end{array}$

即 $0<a<\frac{1}{4}$

$x_1{x}_2=a,x_1+x_2=1$

$g(x_1)-g(x_2)=aln\frac{x_1}{x_2}+\frac{1}{2}(x_2-x_1)$

遇到 $x_1+x_2$ 为定值的题，构建不了齐次式，转而使用统一变量方法。

$x_2=1-x_1$

$a=x_1(1-x_1)$

即证 $(x_1-x_1^2)ln\frac{x_1}{1-x_2}+\frac{1}{2}(1-2x_2)<\frac{1}{2}$

令 $\phi (x)=(x-x^2)ln\frac{x}{1-x}+\frac{1}{2}(1-2x)-\frac{1}{2}$

因为 $x-x^2>0,ln\frac{x}{1-x}<0,\frac{1}{2}(1-2x)-\frac{1}{2}<0$

所以 $\phi (x)<0$

从而得证。