难度： 困难

标签： 圆锥曲线最值范围问题弦长公式主元法

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

设 $P(x,y)$

$|y|=\sqrt{x^2+(y-\frac{1}{2}{)}^2}$

$y^2=x^2+y^2-y+\frac{1}{4}$

$y=x^2+\frac{1}{4}$

解（2）

设 $A,B,C$ 三点在曲线上，

设 $B(x_1,y_1),C(x_2,y_2),A(x_0,x_0^2+\frac{1}{4})$

$l_{AB}:y-x_0^2-\frac{1}{4}=k_1(x-x_0)$

$l_{AC}:y-x_0^2-\frac{1}{4}=k_2(x-x_0)$

$k_1{k}_2=-1$

$\{\begin{array}{l}y=k_{1}x-k_1{x}_0+x_0^2+\frac{1}{4}\\ y=x^2+\frac{1}{4}\end{array}$

$x^2-k_{1}x+k_1{x}_0-x_0^2=0$

$x_0+x_1=k_1,x_0{x}_1=k_1{x}_0-x_0^2,x_1=k_1-x_0$

$|AB|=\sqrt{1+k_1^2}|x_0-x_1|$

$=\sqrt{1+k_1^2}|k_1-2x_0|$

同理，

$|AC|=\sqrt{1+k_2^2}|k_2-2x_0|$

$|AB|+|AC|=\sqrt{1+k_1^2}|k_1-2x_0|+\sqrt{1+k_2}|k_2-2x_0|$

$=\sqrt{1+k_1^2}|k_1-2x_0|+\sqrt{1+\frac{1}{k_1^2}}|-\frac{1}{k_1}-2x_0|$

$=\sqrt{1+k_1^2}|k_1-2x_0|+\frac{\sqrt{1+k_1^2}}{k_1}|\frac{1}{k_1}+2x_0|$

根据对称性，不妨设$0<k_1⩽1$

那么 $|AB|+|AC|⩾\sqrt{1+k_1^2}|2x-k_1|+\sqrt{1+k_1^2}|2x+\frac{1}{k_1}|$

$⩾\sqrt{1+k_1^2}|k_1+\frac{1}{k_1}|$

$=\sqrt{1+k_1^2}|\frac{k_1+1}{k_1}|$

$=\sqrt{\frac{(1+k_1^2{)}^3}{k_1^2}}$

令 $k^2=t,t\in (0,1]$

$h(t)=\sqrt{\frac{(t+1{)}^3}{t}}$

令 $g(t)=\frac{(t+1{)}^3}{t}$

$g^{\prime }(t)=\frac{(t+1{)}^2[2t-1]}{t^2}$

$h(t{)}_{min}=h(\frac{1}{2})=\sqrt{\frac{(\frac{3}{2}{)}^3}{\frac{1}{2}}}$

$=\sqrt{2\times \frac{27}{8}}$

$=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

当 $t=\frac{1}{2},k=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$ 时取等。

因为 $|AB|+|AC|⩾\sqrt{1+k_1^2}|2x-k_1|+\sqrt{1+k_1^2}|2x+\frac{1}{k_1}|$ 的取等条件为 $k=1$，与 $k=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 不符合，所以

$|AB|+|AC|>\frac{3\sqrt{3}}{2}$

TIP

不妨设，其实就是人为地设置一部分条件，然后证明在这个条件下能证明成功。其它条件亦然。

TIP

如果我们要证明题目给出的某个结论，根据对称性，经常可以令一些变量的定义域范围，然后只证明在这个定义域内结论成立即可。

比如在这道题中，根据对称性，可以令其中一条直线的斜率为 $(0,1]$，我们只需要证明在这种情况下成立就可以了。因为如果这条直线的斜率为 $(1,\mathrm{\infty })$，另一条直线的斜率就为 $(-1,0)$。而根据对称性，另一条直线斜率范围在 $(-1,0)$ 的情况与第一条直线斜率范围在 $(0,1)$ 的情况是等价的。

换句话说，如果我们设其中一条直线的斜率为 $[1,+\mathrm{\infty })$，结论也是正确的！因为结论是正确的，只是证明的方法不同而已。如下：

否则能怎么做呢？分类讨论又该怎么分类呢？所以我们只限定证明一种情况即可。且根据情况来看，我们也需要这样来进行放缩。

TIP

绝对值不等式：

$|a|+|b|⩾|a\pm b|⩾||a|-|b||$

TIP

求最值，95% 要换成一个字母，然后通过求导求最值。

5%（属于难题）要通过两个变量求最值，一个看出变量、一个看出常数（主元法）。