难度： 困难

标签： 圆锥曲线最值范围问题定点定值问题非对称韦达定理

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解 1

$2c=2,c=1$

$-\frac{3}{4}=-\frac{b^2}{a^2}$

$\frac{3}{4}=\frac{b^2}{a^2}$

$b^2=3$

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

解 2

设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),E(-4,y_1)$

设 $EN$ 与 $x$ 轴交点为 $G(t,0)$

$\frac{y_2}{x_2-t}=\frac{y_2-y_1}{x_2+4}$

$x_2{y}_2-x_2{y}_1-(y_2-y_1)t=x_2{y}_2+4y_2$

$t=\frac{x_2{y}_1+4y_2}{y_1-y_2}$

设 $x=my-1$

$t=\frac{(m{y}_2-1)y_1+4y_2}{y_1-y_2}$

$=\frac{m{y}_1{y}_2-y_1+4y_2}{y_1-y_2}$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ x=my-1\end{array}$

$3x^2+4y^2-12=0$

$3(my-1{)}^2+4y^2-12=0$

$(3m^2+4)y^2-6my-9=0$

$y_1{y}_2=\frac{-9}{3m^2+4}$

$y_1+y_2=\frac{6m}{3m^2+4}$

所以 $\frac{y_1{y}_2}{y_1+y_2}=\frac{-9}{6m}=\frac{-3}{2m}$

所 $t=\frac{m[\frac{-3}{2m}(y_1+y_2)]-y_1+4y_2}{y_1-y_2}$

$=\frac{-\frac{5}{2}{y}_1+\frac{5}{2}{y}_2}{y_1-y_2}=\frac{5}{2}\frac{y_2-y_1}{y_1-y_2}$

$=-\frac{5}{2}$

$S=\frac{1}{2}\times \frac{5}{2}|y_1-y_2|$

$=\frac{5}{4}\frac{\sqrt{4\times 4\times 3(3m^2+4-1)}}{4+3m^2}$

$\frac{=\frac{5}{4}4\times 3\sqrt{m^2+1}}{3m^2+4}$

$=15\frac{\sqrt{m^2+1}}{3m^2+4}$

$t=\sqrt{m^2+1},t⩾1$

$S=15\frac{t}{3t^2+1}=15\frac{1}{3t+\frac{1}{t}}$

$3t+\frac{1}{t}⩾4$

$\frac{1}{3t+\frac{1}{t}}\in (0,\frac{1}{4}]$

$S_{max}=\frac{15}{4}$

定点模型

过一个定点，然后作一条垂线，然后连接这个垂足，那么连接线是过定点的。

定点模型思想

过个定点，做个直线，然后作交点的对称点呀、垂足呀……

且与另一个交点连线，那么连线往往是过定点的。

非对称韦达定理处理思路之一

遇到既有乘法、又有单独的坐标时，比如

$=\frac{m{y}_1{y}_2-y_1+4y_2}{y_1-y_2}$

把积换位加法或把加法换为积。先联立求韦达定理，然后作比。

$\frac{y_1{y}_2}{y_1+y_2}=\omega$

得到 $y_1+y_2$ 与 $y_1{y}_2$ 的关系。