难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题韦达定理分离常数

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=\frac{-1+2e^x}{2e^{2x}}+\frac{x}{a}$，其中 e 为自然对数的对数。

（1）当 $a=-\frac{1}{2}$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间；

（2）当 $a>0$ 时，若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2$，且 $f(x_1)+f(x_2)>k\cdot f(\frac{lna}{2})$ 恒成立，求 $k$ 的最大值。

第一问

$f(x)=\frac{-1+2e^x}{2e^{2x}}+\frac{x}{a}$

因为不想对分式进行求导，所以将式子化简为多项式

$f(x)=-\frac{1}{2}{e}^{-2x}+e^{-x}+\frac{x}{a}$

$f^{\prime }(x)=e^{-2x}+(-e^{-x})+\frac{1}{a}$

$=e^{-2x}-e^{-x}+\frac{1}{a}$

当 $a=-\frac{1}{2},f^{\prime }(x)=e^{-2x}-e^{-x}-2$

$=(e^{-x}-2)(e^{-x}+1)$

所以当 $x<-ln2$ 时，$f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

当 $x>ln2$ 时，$f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

第二问

当 $a>0$，$f(x)$ 有两个极值点，$x_1,x_2$

说明 $f^{\prime }(x)=0$ 有两个解

即 $f^{\prime }(x)=e^{-2x}-e^{-x}+\frac{1}{a}=0$ 有两个解

因为 $e^{-2x},e^{-x}$ 是 2 次与 1 次的关系，所以可以通过换元变成一元二次方程。这时，在换元之前考虑要不要通分呢？ 不需要！通分了后面反而不太好利用韦达定理进行替换，相当于给自己加大了计算量。

令 $e^{-x}=t,t\in (0,+\mathrm{\infty })$

则 $t^2-t+\frac{1}{a}=0$ 有两解

所以 $\mathrm{\Delta }=1-\frac{4}{a}>0$

$a>4$

$t_1{t}_2=\frac{1}{a},t_1+t_2=1$

$e^{-x_1}=t_1$

$e^{-x_2}=t_2$

$x_1=-ln{t}_1$

$x_2=-ln{t}_2$

对于比较复杂的不等式、等式，可以分别对左边、右边进行化简，化简好后再代入原式。

$f(x_1)+f(x_2)=-\frac{1}{2}{e}^{-2x_1}+e^{-x_1}+\frac{x_1}{a}+[-\frac{1}{2}{e}^{-2x_2}]+e^{-x_2}+\frac{x_2}{a}$

$=-\frac{1}{2}[e^{-2x_1}+e^{-2x_2}]+e^{-x_1}+e^{-x_2}+\frac{x_1+x_2}{a}$

$=-\frac{1}{2}(t_1^2+t_2^2)+t_1+t_2+-ln\frac{t_1{t}_2}{a}$

$=-\frac{1}{2}[(t_1+t_2{)}^2-2t_1{t}_2]+1+\frac{lna}{a}$

$=-\frac{1}{2}(1-\frac{2}{a})+1+\frac{lna}{a}$

$=\frac{1}{a}+\frac{lna}{a}+\frac{1}{2}$

$k\cdot f(\frac{lna}{2})=k\cdot [-\frac{1}{2}{e}^{-lna}+e^{-\frac{1}{2}lna}+\frac{lna}{2a}]$

$=k\cdot [-\frac{1}{2a}+\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{lna}{2a}]$

所以 $\frac{1}{a}+\frac{lna}{a}+\frac{1}{2}>k-\frac{1}{2a}+\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{lna}{2a}$ 恒成立

分母通分，化简一下

$\frac{2+2lna+a}{2a}>k(\frac{-1+2\sqrt{a}+lna}{2a})$

即是说 $\frac{2+2lna+a}{2\sqrt{a}+lna-1}>k$ 恒成立

到这，下一步该怎么做呢？标准答案是令新函数求导，得出最小值。

但这里，求导应该会很麻烦，因为这是分式，而且分式包含更号、ln。

所以如果从得出答案的角度来解题，题目要求 k 最大值，而不是求 k 的范围，我们可以猜测答案为一个整数。因为这里又有 ln 又有根号，不为整数那估计就是一个含根号或 e 的答案了，但我们要赌出题人应该是想把题目出的简单，所以这个式子进行分离常数：

$\frac{2+2lna+a}{2\sqrt{a}+lna-1}=\frac{2(lna+2\sqrt{a}-1)-4\sqrt{a}+4+a}{lna+2\sqrt{a}-1}$

$=2+\frac{(\sqrt{a}-2{)}^2}{lna+2\sqrt{a}-1}>2,(a>4)$

综上，$k$ 最大值为 2