05 平面向量基本定理习题课

例题 1

在 $\mathrm{△}ABC$ 中，已知 $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a},\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{b}$，$G$ 为 $\mathrm{△}ABC$ 的重心，用向量 $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$ 表示向量 $\overrightarrow{AG}=$____.

解：

什么是三角形的重心？

三角形的三个角分别与其对边的中点连线，三条线所相交的点就是重心。重心有个性质，$\mathrm{顶}\mathrm{点}\mathrm{到}\mathrm{重}\mathrm{心}\mathrm{的}\mathrm{距}\mathrm{离}:\mathrm{重}\mathrm{心}\mathrm{到}\mathrm{对}\mathrm{边}\mathrm{中}\mathrm{点}\mathrm{的}\mathrm{距}\mathrm{离}=2:1$。

$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$

$=\frac{2}{3}\overrightarrow{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{BD}}$

$=\frac{2}{3}\overrightarrow{\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow{b}}$

$=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$

例题 2

如图，在 $\mathrm{△}ABC$ 中，$\overrightarrow{AD}=\frac{5}{8}\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BP}=\frac{2}{5}\overrightarrow{PD}$，若 $\overrightarrow{AP}=\lambda \overrightarrow{AB}+\mu \overrightarrow{AC}$，则 $\frac{\mu }{\lambda }$ 的值为（）

$A.\frac{11}{12}$

$B.\frac{3}{4}$

$C.\frac{1}{4}$

$D.\frac{7}{9}$

解：

我们记 $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{c}=\overrightarrow{AC}$。

$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{b}+\frac{2}{7}\cdot \overrightarrow{BD}$

$=\overrightarrow{b}+\frac{2}{7}\cdot (-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{AD})$

$=\overrightarrow{b}+\frac{2}{7}(-\overrightarrow{b}+\frac{5}{8}\overrightarrow{c})$

$=\frac{5}{7}\overrightarrow{b}+\frac{5}{28}\overrightarrow{c}$

所以 $\{\begin{array}{l}\lambda =\frac{5}{7}\\ \mu =\frac{5}{28}\end{array}$

$\frac{\mu }{\lambda }=\frac{1}{4}$

选 $C$.

例题 3

已知非零向量 $\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$、$\overrightarrow{c}$ 两两不平行，且 $\overrightarrow{a}\parallel (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$，$\overrightarrow{b}\parallel (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})$，设 $\overrightarrow{c}=x\overrightarrow{a}+y\overrightarrow{b}$，$x,y\in R$，则 $x+2y=$___.

解：

$\mathrm{\exists }\lambda \in R$，使 $\overrightarrow{a}=\lambda (\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$

$\therefore \frac{1}{\lambda }\cdot \overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$

$\therefore \overrightarrow{c}=\frac{1}{\lambda }\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$

$\mathrm{\exists }\mu \in R$，使 $\overrightarrow{b}=\mu (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})$

$\therefore \frac{1}{\mu }\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$

$\therefore \overrightarrow{c}=-\overrightarrow{a}+\frac{1}{\mu }\overrightarrow{b}$

$\therefore x+2y=-3$