难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题韦达定理

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=alnx+\frac{1}{2}{x}^2-(a+1)x(a>0)$

（1）讨论函数 $f(x)$ 的单调性

（2）设函数 $g(x)=(3-a)x-f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2(x_1<x_2)$。

（i）求实数 a 的取值范围

（ii）证明：$g(x_1)+g(x_2)<10-lna$

第一问

$f^{\prime }(x)=\frac{a}{x}+x-a-a$

$=\frac{x^2-(a+1)x+a}{x}$

$=\frac{(x-a)(x-1)}{x}$

当 $0<a<1$ 时，

在 $x\in (0,a)$ 时，$f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

在 $x\in (a,1)$ 时，$f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

在 $x\in (1,+\mathrm{\infty })$ 时，$f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

当 $a=1$ 时，

$x>0,f^{\prime }(x)⩾0\mathrm{恒}\mathrm{成}\mathrm{立}，f(x)\uparrow$

当 $a>1$ 时，

在 $x\in (0,1)$ 时，$f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

在 $x\in (1,a)$ 时，$f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

在 $x\in (a,+\mathrm{\infty })$ 时，$f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

第二问，第一小问

$g(x)=(3-a)x-alnx-\frac{1}{2}{x}^2+(a+1)x$

$=4x-alnx-\frac{1}{2}{x}^2$

$g^{\prime }(x)=4-\frac{a}{x}-x$

$=-\frac{x^2-4x+a}{x}$

因为 $g(x)$ 有两个极值点，所以 $g^{\prime }(x)=0$ 有两个根，即 $x^2-4x+a=0$ 有两个根

所以 $$\begin{gathered} \mathrm{\Delta }=16-4a>0, \\ a>0 \end{gathered}$$

所以 $0<a<4$

第二问，第二小问

$g(x_1)+g(x_2)=4(x_1+x_2)-aln{x}_1{x}_2-\frac{1}{2}(x_1^2+x_2^2)$

因为 $x_1+x_2=4,x_1{x}_2=a$

所以 $g(x_1)+g(x_2)=16-alna-\frac{1}{2}[(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2]$

$=16-alna-\frac{1}{2}(16-2a)$

$=8-alna+a$

所以即证 $8-alna+a<10-lna$

即证 $lna-alna+a-2<0$

令 $h(a)=a+(1-a)lna-2,0<a<4$

$h^{\prime }(a)=1+[-lna+\frac{1-a}{a}]$

$=1-lna+\frac{1}{a}-1$

$=\frac{1}{a}-lna$

可以观察得出 $h^{\prime }(a)$ 单调递减

因为 $h^{\prime }(1)=1$

$h^{\prime }(2)=\frac{1}{2}-ln2<0$

所以存在 $a_0\in (1,2)$，

当 $a\in (0,a_0),h^{\prime }(a)>0$

当 $a\in (a_0,4),h^{\prime }(a)<0$

$\frac{1}{a_0}=ln{a}_0,a_0\in (1,2)$（零点方程）

所以 $h(a)$ 在 $(0,a_0)$ 单增，

在 $(a_0,4)$ 单减

$h(a_0)=a_0+(1-a_0)ln{a}_0-2$

$=a_0+\frac{1}{a_0}-3$

$⩽2+\frac{1}{2}-3<0$

所以 $h(a)⩽h(a_0)<0$

题目得证。

TIP

遇到这种 $g(x_1)+g(x_2)$ 类似的题目，应该想到是否使用韦达定理消去 $x_1+x_2\mathrm{和}{x}_1{x}_2$。如果 $g(x_1)-g(x_2)$ 那么就不能使用了，消不全。

ln2 的值为多少？

使用泰勒公式求 $ln2$ 的近似值。

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n$

$f(x)=ln(x+1),f(0)=0$

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x+1},f^{\prime }(0)=1$

$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{(x+1{)}^2},f^{\prime \prime }(0)=-1$

$f^{\prime \prime \prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^3},f^{\prime \prime \prime }(0)=2$

所以 $ln(1+x)=0+x-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{3}{x}^3$

$ln2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=0.8333$

用计算机算，$ln2=0.6931471805599453$