难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题切线夹

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 第一问给切线了，大概率是切线夹问题

已知函数 $f(x)=x{e}^{nx}-nx$（$n\in N^{\ast }\mathrm{且}n⩾2$）的图像与 $x$ 轴交于 $P，Q$ 两点，且点 $P$ 在 点 $Q$ 的左侧。

（1）求点 $P$ 处的切线方程 $y=g(x)$，并证明：$x⩾0$ 时，$f(x)⩾g(x)$;

（2）若关于 $x$ 的方程 $f(x)=t$（$t$ 为实数）有两个正实根 $x_1,x_2$，证明：$|x_1-x_2|<\frac{2t}{nlnn}+\frac{lnn}{n}$.

解

（1）

$f(x)=x{e}^{nx}-nx$

$f^{\prime }(x)=e^{nx}+nx{e}^{nx}-n$

令 $f(x)=0$，解得 $x=0$ 或 $x=\frac{lnn}{n}$

所以 $P(0,0)$，$Q(\frac{lnn}{n},0)$

$f^{\prime }(0)=1-n$

所以 $y=g(x)=(1-n)x$

证明 $x⩾0$ 时，$f(x)⩾g(x)$

即证 $x{e}^{nx}-nx⩾x-nx$

$x{e}^{nx}⩾x$

$e^{nx}⩾1$

因为 $n⩾2,x⩾0$

所以 $f(x)⩾g(x)$

（2）

设点 $Q$ 处的切线方程为 $h(x)$。

$f^{\prime }(\frac{lnn}{n})=e^{lnn}+lnn\cdot e^{lnn}-n$

$=n+nlnn-n$

$=nlnn$

$y=h(x)=nlnn(x-\frac{lnn}{n})$

$=nxlnn-l{n}^{2}n$

证明 $x⩾0$ 时，$f(x)⩾h(x)$

$x{e}^{nx}-nx⩾nxlnn-l{n}^{2}n$

设 $G(x)=x{e}^{nx}-nx-nxlnn+l{n}^{2}n$

即证 $G(x)⩾0$

$G^{\prime }(x)=e^{nx}+nx{e}^{nx}-n-nlnn$

$G^{\prime \prime }=n{e}^{nx}+n(e^{nx}+nx{e}^{nx})$

$=2n{e}^{nx}+n^{2}x{e}^{nx}⩾0$

所以 $G^{\prime }(x)$ 单调递增，

因为 $G^{\prime }(\frac{lnn}{n})=e^{lnn}+lnn\cdot e^{lnn}-n-nlnn$

$=0$

所以 $0<x<\frac{lnn}{n}$ 时，$G^{\prime }(x)<0$

$x>\frac{lnn}{n}$ 时，$G^{\prime }(x)>0$

所以 $G(x)$ 在 $(0,\frac{lnn}{n})$ 单调递增

在 $(\frac{lnn}{n},+\mathrm{\infty })$ 单调递减

$G(x)⩾G(\frac{lnn}{n})=\frac{lnn}{n}\cdot e^{lnn}-lnn-l{n}^{2}n+l{n}^{2}n=0$

所以 $G(x)⩾0$

所以 $x⩾0,f(x)⩾h(x)$

设 $g(x)$ 与 $y=t$ 的交点的横坐标为 $x_1^{\prime }$

$\{\begin{array}{l}y=t\\ y=(1-n)x\end{array}$

$x_1^{\prime }=\frac{t}{1-n}$

设 $h(x)$ 与 $y=t$ 的交点的横坐标为 $x_2^{\prime }$

$\{\begin{array}{l}y=t\\ y=nxlnn-l{n}^{2}n\end{array}$

$x_2^{\prime }=\frac{t}{nlnn}+\frac{lnn}{n}$

根据切线夹的知识，

$|x_1-x_2|<x_2^{\prime }-x_1^{\prime }=\frac{t}{nlnn}+\frac{lnn}{n}+\frac{t}{n-1}$

下证 $x_2^{\prime }-x_1^{\prime }⩽\frac{2t}{nlnn}+\frac{lnn}{n}$

即证 $\frac{t}{nlnn}+\frac{lnn}{n}+\frac{t}{n-1}⩽\frac{2t}{nlnn}+\frac{lnn}{n}$

$\frac{1}{nlnn}+\frac{1}{n-1}⩽\frac{2}{nlnn}$

$\frac{1}{n-1}⩽\frac{1}{nlnn}$

$nlnn⩽n-1$

根据“对数单生狗，指数找队友知识”，对两边同除 $n$

$lnn⩽1-\frac{1}{n}$

令 $\phi (n)=lnn+\frac{1}{n}-1$

${\phi }^{\prime }(n)=\frac{1}{n}-\frac{1}{n^2}$

$=\frac{n-1}{n^2}>0$

所以 $\phi (n)$ 单增

$\phi (n)⩾\phi (2)=ln2-\frac{1}{2}>ln{e}^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}=0$

所以 $\phi (n)⩾0$

所以 $lnn⩽1-\frac{1}{n}$

所以 $|x_1-x_2|<x_2^{\prime }-x_1^{\prime }⩽\frac{2t}{nlnn}+\frac{lnn}{n}$

证毕。