难度： 困难

标签： 数列问题导数问题证明题齐次式飘带函数

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=2a{x}^2-xlnx+x+b$ 在 $(1,f(1))$ 处的切线经过点 $(\frac{1}{2},2)$

(1) 若函数 $f(e)>a+2$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围；

(2) 若函数 $f(x)$ 的两个极值点分别是 $x_1,x_2$，求证：$\frac{1}{ln{x}_1}+\frac{1}{ln{x}_2}>2$

解

第一问

$(1,f(1))=(1,2a+1+b)$

$f^{\prime }(x)=4ax-[lnx+1]+1$

$f^{\prime }(x)=4a$

$l:y=4a(x-1)+2a+1+b$

$2=4a(\frac{1}{2}-1)+2a+1+b$

$2=1+b$

$b=1$

注意是 $f(e)$，不是 $f(x)$ !，否则题目变得十分复杂

第二问

$f(x)=2a{x}^2-xlnx+x+1$

$f^{\prime }(x)=4ax-lnx$

$\{\begin{array}{l}4a{x}_1=ln{x}_1\mathrm{①}\\ 4a{x}_2=ln{x}_2\mathrm{②}\end{array}$

$\mathrm{①}-\mathrm{②}$，构造齐次式

$4a(x_1-x_2)=ln\frac{x_1}{x_2}$

证明 $\frac{1}{ln{x}_1}+\frac{1}{ln{x}_2}>2$

即证 $\frac{1}{4a{x}_1}+\frac{1}{4a{x}_2}>2$

$\frac{1}{4a}(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2})>2$

将 $a$ 消去

$\frac{x_1-x_2}{ln\frac{x_1}{x_2}}(\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2})>2$

设 $x_1>x_2>0$

则

$x_1^2-x_2^2>2x_1{x}_{2}ln\frac{x_1}{x_2}$

两边同除 $x_2$

$\frac{x_1^2}{x_2^2}-1>\frac{2x_1}{x_2}ln\frac{x_1}{x_2}$

令 $t=\frac{x_1}{x_2}>1$

则证 $t^2-1>2tlnt$

即 $lnt<\frac{1}{2}(t-\frac{1}{t})$

令 $g(t)=lnt-\frac{1}{2}(t-\frac{1}{t})$

$g^{\prime }(t)=\frac{1}{t}-\frac{1}{2}(1+\frac{1}{t^2})$

$=-\frac{t^2-2t+1}{2t^2}=-\frac{(t-1{)}^2}{2t^2}<0$

所以 $g(t)$ 单调递减，$g(1)=0$

所以 $lnt<\frac{1}{2}(t-\frac{1}{t})$

题目得证。