难度： 困难

标签： 极值点偏移导数问题对数均值不等式飘带函数齐次式消元

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=lnx-a{x}^2+(2-a)x$

（I）讨论 $f(x)$ 函数的单调性；

（II）设 $f(x)$ 的两个零点是 $x_1,x_2$，求证：$x_1+x_2>\frac{2}{a}$

解

第一问

$x>0$

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-2ax+2-a$

$=1-2a{x}^2+(2-a)x$

$=\frac{(2x+1)(-ax+1)}{x}$

当 $a⩽0$ 时，

在 $x\in (0,+\mathrm{\infty })$ 上 $-ax+1>0$，所以 $f^{\prime }(x)>0,f(x)$ 单调递增

当 $a>0$ 时，

在 $x\in (0,\frac{1}{a})$ 上，$f^{\prime }(x)>0,f(x)$ 单调递减

在 $x\in (\frac{1}{a},+\mathrm{\infty })$ 上，$f^{\prime }(x)<0,f(x)$ 单调递减。

第二问

多元问题能消元先消元。转化为齐次式可以将多远问题变为单元问题。

因为 $f(x)$ 的 2 个零点是 $x_1,x_2$

所以 $f(x_1)=f(x_2)=0$

$\{\begin{array}{l}ln{x}_1-a{x}_1^2+(2-a)x_1=0\mathrm{①}\\ ln{x}_2-a{x}_2^2+(2-a)x_2=0\mathrm{②}\end{array}$

$\mathrm{①}-\mathrm{②}$，得（为什么是减，是为了凑齐次式）

$(ln{x}_1-ln{x}_2)+(a{x}_2^2-a{x}_1^2)+(2-a)(x_1-x_2)=0$

$ln\frac{x_1}{x_2}+a(x_2^2-x_1^2)+(2-a)(x_1-x_2)=0$

$ln\frac{x_1}{x_2}+a(x_2^2-x_1^2)+2(x_1-x_2)-a(x_1-x_2)=0$

$ln\frac{x_1}{x_2}+2(x_1-x_2)=a[(x_1-x_2)-(x_2^2-x_1^2)]$

$a=\frac{ln\frac{x_1}{x_2}+2(x_1-x_2)}{(x_1-x_2)+(x_1^2-x_2^2)}$

设 $x_1>x_2>0$

证明 $x_1+x_2>\frac{2}{a}$

即证 $x_1+x_2>2\frac{(x_1-x_2)+(x_1^2-x_2^2)}{ln\frac{x_1}{x_2}+2(x_1-x_2)}$

化简

$(x_1+x_2)ln\frac{x_1}{x_2}+2(x_1^2-x_2^2)>2[(x_1-x_2)+(x_1^2-x_2^2)]$

$ln\frac{x_1}{x_2}>\frac{2(x_1-x_2)}{x_1+x_2}$

$ln\frac{x_1}{x_2}>\frac{2(\frac{x_1}{x_2}-1)}{\frac{x_1}{x_2}+1}$

令 $\frac{x_1}{x_2}=t,t>1$

即证 $lnt>\frac{2(t-1)}{t+1}$

令 $g(t)=lnt-\frac{2(t-1)}{t+1}$

$g^{\prime }(t)=\frac{1}{t}-\frac{2[t+1-(t-1)]}{(t+1{)}^2}$

$=\frac{1}{t}-\frac{4}{(t+1{)}^2}$

$=\frac{(t-1{)}^2}{t(t+1{)}^2}>0$

所以 $g(t)$ 在 $t\in (1,+\mathrm{\infty })$ 上单调递增

$g(1)=0$

所以 $t>1,g(t)>0$

即 $lnt>\frac{2(t-1)}{t+1}$

题目得证。