07 三角恒等变换稳定得分策略（重要）

解题思路

$\mathrm{降}\mathrm{幂}⟹\mathrm{两}\mathrm{角}\mathrm{和}\mathrm{与}\mathrm{差}⟹\mathrm{辅}\mathrm{助}\mathrm{角}\mathrm{公}\mathrm{式}$

例题 1

已知函数 $f(x)=sinxcos(x-\frac{\pi }{6})-\frac{1}{4}$

（1）求函数 $f(x)$ 的周期；

（2）若 $\alpha \in (0,\frac{\pi }{4})$，$f(\alpha )=\frac{2}{5}$，求 $sin\text{2}\alpha$.

解：

（1）

$f(x)=sinx\cdot (cosxcos\frac{\pi }{6}+sinxsin\frac{\pi }{6})-\frac{1}{4}$

$=\frac{\sqrt{3}}{2}sinxcosx+\frac{1}{2}si{n}^{2}x-\frac{1}{4}$

$=\frac{\sqrt{3}}{4}sin2x+\frac{1}{4}\cdot (1-cos2x)-\frac{1}{4}$

$=\frac{\sqrt{3}}{4}sin2x-\frac{1}{4}cos2x$

$=\frac{1}{2}(sin2x\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-cos2x\cdot \frac{1}{2})$

$=\frac{1}{2}sin(2x-\frac{\pi }{6})$

例题 2

已知函数 $f(x)=sin(x-\frac{\pi }{6})+cos(\frac{\pi }{3}-x)+cosx+\alpha$ 的最大值为 1.

(1) 求常数 $a$ 的值。

(2) 求函数 $f(x)$ 的单调递增区间；

(3) 求使 $f(x)<0$ 成立的实数 $x$ 的取值集合。

解：

（1）

$\mathrm{原}\mathrm{式}=1+coss2x+\sqrt{3}sin2x-2$

$=\sqrt{1^2+(\sqrt{3}{)}^2}sin(2x+\frac{\pi }{6})-1$

例题 3

已知函数 $f(x)=co{s}^{4}x+2sinxcosx-si{n}^{4}x.$

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小正周期；

(2) 求函数 $f(x)$ 在区间 $[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}]$ 上的最小值和最大值。

解：

(1)

$y=(co{s}^{2}x-si{n}^{2}x)(co{s}^2+si{n}^2)+sin2x$

$y=cos2x+sin2x$

$y=\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}sin2x+\frac{1}{\sqrt{2}}sin2x)$