难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题面积之比问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\overrightarrow{AC}=(4,y)$

$\overrightarrow{BC}=(-x,y)$

$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC}=0$

$-4x+y^2=0$

$y^2=4x$

解（2）

设 $P(\frac{y_1^2}{4},y_1),Q(\frac{y_2^2}{4},y_2)$

$M(x_M,y_M),E(2,0)$

$k_{OP}=\frac{4}{y_1}$

$l_{OP}:y=\frac{4}{y_1}x$

$\{\begin{array}{l}(x-1{)}^2+y^2=1\\ y=\frac{4}{y_1}x\end{array}$

$(\frac{y_{1}y}{4}-1{)}^2+y^2-1=0$

$y_M=\frac{\frac{y_1}{2}}{\frac{y_1^2}{16}+1}$

$=\frac{8y_1}{y_1^2+16}$

同理，$k_{OQ}=\frac{4}{y_2}$

$l_{OQ}:y=\frac{4}{y_2}x$

$y_N=\frac{8y_2}{y_2^2+16}$

$\frac{S_{OMN}}{S_{O}PQ}=\frac{|OM|\cdot |ON|}{|OP||OQ|}$

$=\frac{y_M}{y_1}\cdot \frac{y_N}{y_2}$

$=\frac{8}{y_1^2+16}\cdot \frac{8}{y_2^2+16}$

$\{\begin{array}{l}{y}^2=4x\\ x=my++1\end{array}$

$y^2-4(my+1)=0$

$y^2-4my-4=0$

$y_1{y}_2=-4$

$y_1=-\frac{4}{y_2}$

$\mathrm{求}=\frac{8}{\frac{16}{y_2^2}+16}\cdot \frac{8}{y_2^2+16},y_2\ne 0$

$=\frac{1}{\frac{2}{y_2^2}+2}\frac{8}{y_2^2+16}$

$=\frac{y_2^2}{2+2y_2^2}\frac{8}{y_2^2+16}$

$=\frac{y_2^2}{1+y_2^2}\frac{4}{y_2^2+16}$

令 $y_2^2=t,t>0$

$\mathrm{求}=\frac{4t}{(t+1)(t+16)}$

$=\frac{4t}{t^2+17t+16}$

$=\frac{4}{t+\frac{16}{t}+17}$

$⩽\frac{4}{2\sqrt{16}+17}=\frac{4}{8+17}=\frac{4}{25}$

当 $t=4$ 时取等。

TIP

TIP

抛物线 E 中，一条过定点的直线与 E 交于两点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，那么 $y_1{y}_2$ 为一个定值。

TIP

抛物线中一般都是单变量设点。比如 $E:y^2=4x$，则设

$A(\frac{y_1^2}{4},y_1),B(\frac{y_2^2}{4},y_2)$