难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题定点定值问题切线问题单切线问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$A(x_1,y_1)$

$y^{\prime }=2x$

$l:y-y_1=2x_1(x-x_1)$

$y=2x_{1}x-2x_1^2+y_1=2x_{1}x-x_1^2$

$l$ 的垂线 $l_{AB}:y-y_1=-\frac{1}{2x_1}(x-x_1)$

$y=-\frac{1}{2x_1}x+\frac{1}{2}+y_1$

$\{\begin{array}{l}y=x^2\\ y=-\frac{1}{2x_1}x+\frac{1}{2}+y_1\end{array}$

$x^2+\frac{1}{2x_1}x-\frac{1}{2}-y_1=0$

$x_1+x_2=-\frac{1}{2x_1},x_1{x}_2=-\frac{1}{2}-y_1$

$x_1-x_2=\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}$

$=\sqrt{\frac{1}{4x_1^2}+2+4y_1}$

$=\sqrt{\frac{1}{4x_1^2}+4x_1^2+2}⩾\sqrt{2\sqrt{1}+2}=2$

当 $4x_1^2=1,x_1=\frac{1}{2}$ 时取等，

此时 $l:y=x-\frac{1}{4}$ 与椭圆有 2 个交点。

解（2）

$\frac{|DO|}{|DB|}=\frac{|OH|}{|AB|}$

$k_{AB}=-\frac{1}{2x_1},k_{OH}=-\frac{1}{2x_1}$

$l_{OH}:y=-\frac{1}{2x_1}x$

$l:y=2x_{1}x-x_1^2$

$OH=\frac{x_1^2}{\sqrt{4x_1^2+1}}$

$|AB|=\sqrt{1+\frac{1}{4x_1^2}}|x_1-x_2|$

$=\sqrt{\frac{4x_1^2+1}{4x_1^2}}\sqrt{\frac{8x_1^2+16x_1^2+1}{4x_1^2}}$

$=\frac{\sqrt{(4x_1^2+1{)}^2}}{4x_1^2}$

所以 $\frac{|DO|}{|DB|}=\frac{|OH|}{|AB|}=\frac{4x_1^4}{(4x_1^2+1{)}^2}$

$=\frac{4x_1^4}{16x_1^4+8x_1^2+1}=\frac{1}{4+\frac{2}{x_1^2}+\frac{1}{4x_1^2}}$

$=\frac{1}{(2+\frac{1}{2x_1^2}{)}^2}$

接下来根据 $l$ 与椭圆有两个交点，利用 $\mathrm{\Delta }>0$ 得出 $x_1$ 的具体范围。

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+y^2=1\\ y=2x_{1}x-x_1^2\end{array}$

${\mathrm{\Delta }}_x=4\times 2\times 1\times (2\times 4x_1^2+1-x_1^4)>0$

$-x_1^4+8x_1^2+1>0,\mathrm{令}{x}_1^2=t>0$

$-t^2+8t+1>0$

$x_1^2=t\in (0,4+\sqrt{17})$

$\mathrm{原}\mathrm{式}=\frac{1}{(2+\frac{1}{2t})}$，为单增函数

所以 $\mathrm{原}\mathrm{式}\in (0,\frac{4}{17})$

TIP

只要是开口向上的抛物线的处理手段：（单切线、双切线都这样做）

先设切点，再表达切线

这样后面所有的式子都可以用切点的横坐标表示。

为什么开口向上的抛物线要设点？因为可以求导，得出这个点的切线斜率。

TIP

已知一条直线，要求这条直线的垂线，那么我们需要找一个定点，然后根据斜率为 $-\frac{1}{k}$，要写最初的点斜式

比如 $y=k(x-x_0)+y_0=kx-k{x}_0+y_0$ 的垂线方程不是 $y=-\frac{1}{k}x-k{x}_0+y_0$，

而应该是 $y=-\frac{1}{k}(x-x_0)+y_0$

TIP

对于函数 $f(x)=\frac{4x_4}{(4x^2+1{)}^2},x^2\in (0,4+\sqrt{17})$

要求值域，要是没有用最简单的方法（把括号打开，分子除以分母）做，而是令

$4x^2+1=t,t\in (1,17+4\sqrt{17})$

那么需要注意，一些求值域技巧。

$f(t)=\frac{4(\frac{t-1}{4}{)}^2}{t^2}=\frac{4}{t^2}\frac{(t-1{)}^2}{16}=\frac{1}{4}\frac{t^2-2t+1}{t^2}$

$=\frac{1}{4}(1-\frac{2}{t}+\frac{1}{t^2})$

$=\frac{1}{4}(1-\frac{1}{t}{)}^2$，它是个增函数。

当 $t=1$ 时，$f(t)=0$

当 $t=17+4\sqrt{17}$ 时，我们应该先算 $\frac{1}{t}=\frac{1}{17+4\sqrt{17}}=\frac{17-4\times \sqrt{17}}{{17}^2-16\times 17}=\frac{17-4\sqrt{17}}{17}=1-\frac{4\sqrt{17}}{17}$

这样才能化简，否则如果先通分，根本就算不出来。

先通分：$f(17+4\sqrt{17})=(1-\frac{1}{17+4\sqrt{17}}{)}^2$

这咋算？？？？？？

$=(\frac{16+4\sqrt{17}}{17+4\sqrt{17}}{)}^2$