难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题同构零点方程

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知 $f(x)=2xlnx,g(x)=ln\frac{x}{a}+x(a>0)$.

（1）若 $\frac{f(x)}{x^2}⩽m(x-1)$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 上恒成立，求 $m$ 的值；

（2）若函数 $y=f(x)-a{e}^{ax}$ 有两个零点 $x_1,x_2(x_1<x_2)$.

• （i）求 $a$ 的取值范围；
• （ii）若 $g(x_0)=0$，证明：$x_1>x_0+\frac{5}{6}$.

解（1）

$\frac{f(x)}{x^2}⩽m(x-1),x\in (0,+\mathrm{\infty })$

$\frac{2xlnx}{x^2}⩽m(x-1)$

$m(x-1)-\frac{2lnx}{x}⩾0(x>0)$

令 $h(x)=m(x-1)-\frac{2lnx}{x}$

$h(x)⩾0(x>0)$ 恒成立

$h(1)=0$

所以 $h^{\prime }(1)=0$

$h^{\prime }(x)=m-2[\frac{1-lnx}{x^2}]$

$h^{\prime }(1)=m-2=0$

$m=2$

下证，$m=2$ 时，

$h(x)=2x-2-\frac{2lnx}{x}⩾0$

$h^{\prime }(x)=2-\frac{2(1-lnx)}{x^2}$

$=\frac{2x^2+2lnx-2}{x^2}$

$0<x<1,h^{\prime }(x)<0,h(x)\downarrow$

$x>1,h^{\prime }(x)>0,h(x)\uparrow$

$h(x)⩾h(1)=0$

所以 $m=2$

解（2）（i）

$f(x)=a{e}^{ax}=0$ 有 2 零点

$⟺2xlnx-a{e}^{ax}=0$

$2xlnx=a{e}^{ax}$

$2x^{2}lnx=ax{e}^{ax}$

令 $\phi (x)=xlnx$

则 $\phi (x^2)=\phi (e^{ax})$

因为 $a{e}^{ax}>0，2xlnx>0$

所以 $x>1$

$x^2>1,e^{ax}>1$

${\phi }^{\prime }(x)=lnx+1$

$0<x<\frac{1}{e},{\phi }^{\prime }(x)<0,\phi (x)\downarrow$

$x>\frac{1}{e},{\phi }^{\prime }(x)>0,\phi (x)\uparrow$

所以 $x^2=e^{ax}(x>1)$

$2lnx=ax$

$a=\frac{2lnx}{x}$

令 $\mu (x)=\frac{2lnx}{x}$

${\mu }^{\prime }(x)=2[\frac{1-lnx}{x^2}]$

$1<x<e,{\mu }^{\prime }(x)>0,\mu (x)\uparrow$

$x>e,{\mu }^{\prime }(x)<0,\mu (x)\downarrow$

所以 $\mu (x{)}_{max}=\mu (e)=\frac{2}{e}$

所以 $0<a<\frac{2}{e}$

解（2）（ii）

$g(x_0)=0$

$ln\frac{x_0}{a}+x_0=0$

$a=\frac{2ln{x}_1}{x_1}(x_1>1)$

$ln{x}_0+x_0=lna$

$ln{x}_0{e}^{x_0}=lna$

$a=x_0{e}^{x_0},(x_0>0)$

由（1）得

$a=\frac{2ln{x}_1}{x_1}<2(x_1-1)$

所以 $x_1>\frac{2+a}{2}$

$x_1>\frac{2+x_0{e}^{x_0}}{2}(x_0>0)$

所以即证 $x_1-x_0>\frac{2+x_0{e}^{x_0}-2x_0}{2}>\frac{5}{6}$

令 $m(x)=x{e}^x-2x+2(x>0)$

即证 $m(x)>\frac{5}{3}$

$m^{\prime }(x)=e^x+x{e}^x-2$

$m^{\prime }(0)=-2<0$

$m^{\prime }(\frac{1}{2})=\frac{3}{2}\sqrt{e}-2>0$

所以 $m^{\prime }(x)$ 在 $(0,\frac{1}{2})$ 有唯一零点 $x_3$

$e^{x_3}(x_3+1)=2$

$0<x<x_3,m^{\prime }(x)<0,m(x)\downarrow$

$x>x_3,m^{\prime }(x)>0,m(x)\uparrow$

$m(x{)}_{min}=x_3{e}^{x_3}-2x_3+2$

$=\frac{2x_3}{x_3+1}-2x_3+2$

$=\frac{2(x_3+1)-2}{x_3+1}-2(x_3+1)+4$

令 $t=x_3+1,t\in (1,\frac{3}{2})$

$m(x{)}_{min}=\frac{2t-2}{t}-2t+4$

$=2-\frac{2}{t}-2t+4$

$=6-2(\frac{1}{t}+t)$

$\frac{1}{t}+t\in (2,\frac{13}{6})$

$m(x)>6-2\times \frac{13}{6}=6-\frac{13}{3}=\frac{18-13}{3}=\frac{5}{3}$

所以 $x_1>x_0+\frac{5}{6}$

证毕。

TIP

题目问求值，那就是一个确定的值，而不是一个范围！

TIP

最值要么在端点处取，要么在极值点处取，如果定义域是开区间，那么一定是在极值点处取！

TIP

看到同时有 $lnx,e^x$ 在一起，可能会需要用到同构方法。

TIP

有指数，有对数，往往需要放缩，可能是使用切线放缩 $e^x>x+1,lnx<x-1$，也有可能使用题目中给出不等式进行放缩。

将指数或对数先放一个。