13 追及相遇 - 相遇时间计算

解题核心思路

把任意时刻两物体之间的距离的表达式写出来。

距离公式

任意时刻两物体的距离公式：

$x=d_0+x_{\mathrm{领}\mathrm{先}}-x_{\mathrm{落}\mathrm{后}}$

TIP

1. $d_0$ 表示两个物体开始运动时的之间的距离。
2. $x_{\mathrm{领}\mathrm{先}}$ 表示最开始领先的物体的位移表达式
3. $x_{\mathrm{落}\mathrm{后}}$ 表示最开始落后的物体的位移表达式

反超了怎么办？

还是用一样的公式，谁领先谁落后从一开始定好了，后面就不变了。

如果反超了，x 就是负数。

不同时开始运动怎么分析 $d_0$？

谁跑的晚，就以它起跑的时刻作为 0 时刻。

$d_0$ 表示 0 时刻是两物体的距离。

计算相遇时间

本质是计算当 x=0 时的 t。

步骤：

1. 确定 0 时刻，计算 $d_0$
2. 设从 0 时刻开始，需要 ts 追上
3. 明确谁领先谁落后，列方程 $d_0+x_{\mathrm{领}\mathrm{先}}-x_{\mathrm{落}\mathrm{后}}=0$
4. 表示出 $x_{\mathrm{领}\mathrm{先}}$ 和 $x_{\mathrm{落}\mathrm{后}}$
5. 代入距离公式解 t

TIP

甲、乙两个人同时向右跑，甲在最右边，乙在甲的左边。那么 $x_{\mathrm{领}\mathrm{先}}=x_{\mathrm{甲}}，x_{\mathrm{落}\mathrm{后}}=x_{\mathrm{乙}}$

多段运动

如果遇到更复杂点的情况，当从 0 到 t 的追击过程是多段运动时，那么就分段分析，一段一段求。

常见情况：

1. 前车刹车，还没相遇就停了。注意这时候不会继续往回开。
2. 后车限速，先加速再匀速

例题

题 1

TIP

就算是简单的追及相遇问题，也需要一定步骤，所以慢慢来。

甲、乙两车从同一地点同时出发，其中甲车从静止开始做匀加速直线运动，加速度为 $5m/s^2$，乙车以 $10m/s$ 的速度匀速运动，当两车再次相遇时（两车均可视为质点），两车运动的时间为（）

$A.4s$

$B.0s$

$C.3s$

$D.5s$

解

$d_0=0$

$x_{\mathrm{甲}}=\frac{1}{2}a{t}^2=\frac{5}{2}{t}^2$

$x_{\mathrm{乙}}=10t$

$x_{\mathrm{甲}}-x_{\mathrm{乙}}=0$

$\frac{5t}{2}=10$

$t=4$

选 $A$

题 2

一辆执勤的警车停在公路边，当警员发现从他旁边以 10m/s 的速度匀速行驶的货车严重超载时，决定前去追赶，经过 5.5s 后警车发动起来，并以 $2.5m/s^2$ 的加速度做匀加速运动，警车发动后要多长时间才能追上货车？

解

$d_0=5.5\times 10=55$

两车距离 $x=d_0+x_{\mathrm{货}}-x_{\mathrm{警}}$

$x_{\mathrm{货}}=10t$

$x_{\mathrm{警}}=\frac{1}{2}a{t}^2=\frac{5}{4}{t}^2$

$0=55+10t-\frac{5}{4}{t}^2$

$0=11+2t-\frac{t^2}{4}$

$t^2-8t-44=0$

$t=4+2\sqrt{15}$

题 3

当汽车 B 在汽车 A 前方 $s_0=7m$ 时，汽车 A 正以 $v_A=4m/s$ 的速度向前做匀速直线运动，而汽车 B 此时速度 $v_B=10m/s$，并关闭油门向前做匀减速直线运动，加速度大小 $a=2m/s^2$。此时开始计时，则 A 追上 B 需要的时间是（）

$A.10s$

$B.9s$

$C.8s$

$D.7s$

易错解法

两车相距的距离 $x=s_0+x_B-x_A$

$x_B=10t-\frac{1}{2}\times 2t^2$

$x_A=4t$

$0=7+10t-t^2-4t$

$t^2-6t-7=0$

$t=7$

错误原因：以为 B 车停车后还会继续倒车运动。

正确解法

$x=d_0+x_{\mathrm{领}\mathrm{先}}-x_{\mathrm{落}\mathrm{后}}$

$t=\frac{v}{a}=\frac{10}{2}=5s$

$x_{\mathrm{领}\mathrm{先}}=10t-t^2$

$x_{\mathrm{落}\mathrm{后}}=4t$

$x=7+6t-t^2$

$x_1=7+30-25=12m$

所以 B 停车后，两车还相距 $12m$

$t_2=\frac{x_1}{v_A}=\frac{12}{4}=3s$

$t_{\mathrm{总}}=5+3=8s$

题 4

超载和超速是造成交通事故的隐患之一。有一辆值勤的警车停在公路边，交警突然发现从他旁边 12m/s 的速度匀速行驶的货车严重超载，他决定前去追赶，经过 2s 后发动警车，以加速度 $a=2m/s^2$ 做匀加速运动，但警车的最大速度是 16m/s，求：

警车发动后要多长时间才能追上货车？

解

$d_0=2\times 12=24m$

$t_1=\frac{v}{a}=\frac{16}{2}=8s$

$x_{\mathrm{领}\mathrm{先}}=x_{\mathrm{货}}=12t$

$x_{\mathrm{落}\mathrm{后}}=x_{\mathrm{警}}=t^2$

$x=24+12t-t^2$

$x_8=24+96-64$

$=120-64$

$=56$

所以警车达到最大速度 $16m/s$ 后，两车相距 $56m$

所以 $t^{\prime }=\frac{56}{16-12}=14s$

$t_{\mathrm{总}}=t_1+t^{\prime }=8+14=22s$