难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题面积之比问题定比点差法

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{x^2}{2}-\frac{{}^2}{2}=1$

$a=\sqrt{2},b=\sqrt{2},c=2$

$-\frac{b}{a}=-1,$

设直线 $x=-y+2$

$\{\begin{array}{l}{x}^2-y^2=2\\ x=-y+2\end{array}$

$x^2-(-x+2{)}^2-2=0$

$x=\frac{3}{2}$

所以 $x_p\in (\frac{3}{2},+\mathrm{\infty })$

解（2）

$P(x_0,y_0),F_1(-2,0),F_2(2,0),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$

$\frac{S}{S_1}+\frac{S}{S_2}=\frac{|P{F}_1|\cdot |PA|}{|PB|\cdot |P{F}_2|}+\frac{y_0-y_1}{-y_1}$

$=\frac{(a+e{x}_0)(y_0-y_1)}{(a+e{x}_0-2\sqrt{2})y_0}+\frac{y_0-y_1}{-y_1}$

$=\frac{(\sqrt{2}+\sqrt{2}{x}_0)(y_0-y_A)}{(-\sqrt{2}+\sqrt{2}{x}_0)y_0}+\frac{y_0-y_A}{-y_A}$

设直线 $P{F}_2:x=\frac{x_0-2}{y_0}y+2$

$\{\begin{array}{l}{x}^2-y^2=2\\ x=\frac{x_0-2}{y_0}y+2\end{array}$

$(\frac{x_0-2}{y_0}y+2{)}^2-y^2-2=0$

$y_0{y}_A=\frac{2}{\frac{(x_0-2{)}^2}{y_0^2}-1}=\frac{2y_0^2}{(x_0-2{)}^2-y_0^2}$

$=\frac{2y_0^2}{x_0^2-4x_0+4-y_0^2}$

$=\frac{2y_0^2}{6-4x_0}=\frac{y_0^2}{3-2x_0}$

$y_A=\frac{y_0}{3-2x_0}$

所以 $\mathrm{求}=\frac{x_0+1}{x_0-1}(1-\frac{y_A}{y_0})-\frac{y_0}{y_A}+1$

$=\frac{x_0+1}{x_0-1}(1-\frac{1}{3-2x_0})-3+2x_0+1$

$=\frac{x_0+1}{x_0-1}\frac{2x_0-2}{2x_0-3}+2x_0-2$

$=\frac{2x_0+2}{2x_0-3}+2x_0-2$

$=\frac{2x_0-3+5}{2x_0-3}+2x_0-2$

$=1+\frac{5}{2x_0-3}+2x_0-3+1$

$⩾2+2\sqrt{5}$

焦半径公式

二次函数的 $\mathrm{\Delta }>0$ 问题

对于 $(m^2-1)y^2+4\sqrt{2}my+6=0$，

如果我们使用 $\mathrm{\Delta }=32m^2-24(m^2-1)>0$，

$8m^2+24>0$ 恒成立，说明此二次函数有 2 个解。

但是有前提！我们只有在保证这是一个二次函数时才能使用 $\mathrm{\Delta }$，才能说明有 2 个解。

如果这个函数不是二次函数，比如 $m^2-1=0$，那么就变成一次函数了，只有 1 个解！

所以要注意使用 $\mathrm{\Delta }$ 的前提条件，这首先得是一个二次函数、二次项系数不为零。

计算技巧