16 大题 - 大题中的对称条件 (中档)

解题方向

如果圆锥曲线类的题目出现垂直平分线，对称条件，解题切入点可以有下面几点：

$\{\begin{array}{l}\mathrm{与}\mathrm{曲}\mathrm{线}\mathrm{的}\mathrm{定}\mathrm{义}\mathrm{结}\mathrm{合}\mathrm{思}\mathrm{考}\\ \mathrm{垂}\mathrm{直}\mathrm{平}\mathrm{分}\mathrm{法}，\mathrm{建}\mathrm{立}\mathrm{两}\mathrm{个}\mathrm{方}\mathrm{程}（\mathrm{常}\mathrm{见}\mathrm{做}\mathrm{法}）\\ \mathrm{点}\mathrm{差}\mathrm{法}（\mathrm{只}\mathrm{能}\mathrm{用}\mathrm{在}\mathrm{椭}\mathrm{圆}\mathrm{和}\mathrm{双}\mathrm{曲}\mathrm{线}\mathrm{中}，\mathrm{并}\mathrm{且}\mathrm{对}\mathrm{称}\mathrm{点}\mathrm{都}\mathrm{在}\mathrm{曲}\mathrm{线}\mathrm{上}）\end{array}$

例题 1

已知圆 $E:(x-\sqrt{2}{)}^2+y^2=16$，$P$ 为 $E$ 上任意一点，$F(-\sqrt{2},0)$。$PF$ 的垂直平分线交 $PE$ 于点 $G$，记点 $G$ 的轨迹为曲线 $C$。

（1）求曲线 $C$ 的方程；

解：

$FG+EG=PE=r$

所以轨迹是一个椭圆，$4=2a,a=2;c=\sqrt{2}$

例题 2

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，短轴长为 2.

（1）求椭圆 $C$ 的标准方程；

（2）若直线 $l:y=kx+m(k\ne 0)$ 与椭圆 $C$ 交于不同的两点 $M,N$，且线段 $MN$ 的垂直平分线过定点 $(1,0)$，求实数 $k$ 的取值范围。

解：

（1）

$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$2b=2$

$b=1$

$a^2=4$

$C:\frac{x^2}{4}+y^2=1$

（2）

直线 $l:y=kx+m(k\ne 0)$

直线 $l$ 的垂直平分线 $l^{\prime }:y=-\frac{1}{k}(x-1)=-\frac{1}{k}x+\frac{1}{k}$

接下来有两种方法，

一种是联立直线与曲线的方程，使用韦达定理求出 $AB$ 中点 $P(x_P,y_P)$，代入直线 $l^{\prime }$。

就有一个等式。再根据 $\mathrm{\Delta }>0$ 或者中点 $(x_P,y_P)$ 一定在椭圆内列出不等式（要表示 $P(x_P,y_P)$ 在椭圆内只需要满足 $\frac{x_P^2}{4}+y_P^2<1$ 即可）。

还有一种是使用点差法。

若有一个包含未知数 $k$ 的直线比如 $y=kx+1$，且有一个包含未知数并在直线上的点比如 $(3m,2m)$，那么我们得出一个 $k$ 与 $m$ 的关系等式。

解法一，通用，联立使用韦达定理

联立直线与曲线：

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+y^2=1\\ y=kx+m\end{array}$

$x^2+4(k^2{x}^2+2mkx+m^2)=4$

$(1+4k^2)x^2+8mkx+4m^2-4=0$

因为有两个交点，所以 $\mathrm{\Delta }>0$

$x_1+x_2=-\frac{8mk}{1+4k^2}$

$y_1+y_2=k{x}_1+m+k{x}_2+m$

$=2m-\frac{8m{k}^2}{1+4k^2}$

$=\frac{2m}{1+4k^2}$

所以中点为 $(-\frac{4mk}{1+4k^2},\frac{m}{1+4k^2})$

代入直线 $l^{\prime }$ 得

$\frac{m}{1+4k^2}=\frac{4m}{1+4k^2}+\frac{1}{k}$

$\frac{-3m}{1+4k^2}=\frac{1}{k}$

$m=\frac{1+4k^2}{-3k}$

而 $\mathrm{\Delta }=4m^2{k}^2-(1+4k^2)(m^2-1)>0$

$4m^2{k}^2-(m^2-1+4m^2{k}^2-4k^2)>0$

$4k^2-m^2+1>0$

$4k^2+1>\frac{(1+4k^2{)}^2}{9k^2}$ （当时第一次做没做出来，以为不能约。。。其实约了也能做出来！）

$1>\frac{1+4k^2}{9k^2}$

$5k^2>1$

$k^2>\frac{1}{5}$

解法二，点差法

点差法

我们可以想象任意一条直线与曲线相交，所形成的弦长中点坐标总与这条直线的斜率有一个等式关系。

TIP

若有一个包含未知数 $k$ 的直线比如 $y=kx+1$，且有一个包含未知数并在直线上的点比如 $(3m,2m)$，那么我们得出一个 $k$ 与 $m$ 的关系等式。

$\{\begin{array}{l}{x}_1^2+y_1^2=1\\ x_2^2+y_2^2=1\end{array}$

$\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{4}+(y_1+y_2)(y_1-y_2)=0$

$\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{4}=-(y_1+y_2)(y_1-y_2)$

$\frac{1}{4}\cdot \frac{x_1+x_2}{y_1+y_2}=-\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}$ = -k

$\frac{1}{4}\cdot \frac{x_P}{y_P}=-k$（$(x_P,y_P)$ 为弦长中点）

$x_P=-4k{y}_P$

所以弦长中点为 $(-4k{y}_P,y_P)$。（我们可以认为 $y_P$ 是未知数）

弦长中点又在直线 $l^{\prime }:y=-\frac{1}{k}x+\frac{1}{k}$ 上，

代入，可得

$y_P=-\frac{1}{k}(-4k{y}_P-1)$

$k{y}_P=4k{y}_P+1$

$-1=3k{y}_P$

$y_P=-\frac{1}{3k}$

$x_P=-4k\cdot -\frac{1}{3k}=\frac{4}{3}$

所以我们就用 $k$ 把弦长中点表示出来了 $(\frac{4}{3},-\frac{1}{3k})$

那么现在怎么求出 $k$ 的范围呢？

我们需要知道，$P$ 点一定满足一个条件，那就是它一定在椭圆内。怎么表示一个点在椭圆内呢？就像圆一样，$x^{+}{y}^2<1$ 表示在圆内，

那么我们将椭圆方程的等号改为小于符号也就代表它在椭圆内了。

所以 $\frac{1}{4}\times \frac{16}{9}+\frac{1}{9k^2}<1$

$\frac{1}{9k^2}<\frac{5}{9}$

$k^2>\frac{1}{5}$

联立使用韦达定理与点差法的区别

1. 使用范围不一样

韦达定理适用绝大部分有垂直平分线的题，而点差法只能用在椭圆或双曲线的题目中。

2. 求的东西不一样

联立直线和曲线方程可以精确的算出每个交点的横纵坐标，使用韦达定理可以算出直线与曲线的两个交点的横坐标之和、之积，纵坐标之和、之积。

而点差法只能算出“弦长中点坐标的横纵坐标比值”与“直线斜率”的一个关系等式。

3. 计算复杂度不一样

韦达定理计算会更复杂一些。如果并不需要确切的知道两个交点的横纵坐标，而是只需要知道弦长中点的横纵坐标关系，那么可以使用点差法，计算更为简便。