02 椭圆的习题课 (基础)

例题 1

已知椭圆 $C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1(b>0)$ 的一个焦点为 $(1,0)$，则 $b=$().

$A.1$

$B.\sqrt{2}$

$C.\sqrt{3}$

$D.\sqrt{5}$

解：

例题 2

已知椭圆 $C$ 的焦点为 $F_1(-1,0),F_2(1,0)$。过点 $F_1$ 的直线与 $C$ 交于 $A,B$ 两点，若 $\mathrm{△}AB{F}_2$ 的周长为 8，则椭圆 $C$ 的标准方程为（）。

$A.\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{15}=1$

$B.\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{7}=1$

$C.\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

$D.\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$

解：

$4a=8$

$a=2$

选 $C$.

例题 3

已知椭圆 $C$ 的中心为坐标原点 $O$，$F(\sqrt{5},0)$ 是椭圆 $C$ 的右焦点，$P$ 是椭圆 $C$ 上一点，满足 $|OP|=|OF|$，且 $|PF|=2$，则椭圆 $C$ 的离心率是（）。

$A.\frac{\sqrt{5}}{3}$

$B.\frac{\sqrt{5}}{4}$

$A.\frac{2}{3}$

$D.\frac{1}{2}$

解：

TIP

若一个三角形的一边的中点与与它的对角的连线的长度等于这个中点所在边的长度的一半，那么这是一个直角三角形。通过三角形内角之和等于 180 度和等腰三角形的性质可以证出该结论。

例题 4

已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$，直线 $y=kx$ 与该椭圆交于 $A,B$ 两点，分别过 $A、B$ 向 $x$ 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则 $k$ 等于（）

$A.\pm \frac{3}{2}$

$B.\pm \frac{2}{3}$

$C.\pm \frac{1}{2}$

$D.\pm 2$

解：