03 组合

定义

一般地，从 n 个不同元素中取出 $m(m\le n)$ 个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。

共有多少种这样的组合成为组合数，记为 $C_n^m$

排列和组合有啥不同呢？

排列是从 n 个元素中选出 m 个元素，还要进行排序。组合是从 n 个元素中选出 m 个元素，不进行排序。

公式

排列和组合之间是有一个关系的，即 $A_n^m=C_n^m\cdot A_m^m$

所以 $C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n(n-1)...(n-m+1)}{m!}$

也有 $C_n^m=\frac{\frac{n!}{(n-m)!}}{m!}=\frac{n!}{(n-m)!}\cdot \frac{1}{m!}=\frac{n!}{(n-m)!m!}$ （这个公式一般在证明题，化简公式时被使用）

其它

$C_n^0=1$

$C_n^m=C_n^{n-m}$

例题 1

解：

(1)

$C_{17}^{11}=C_{17}^6=\frac{17\times 16\times 15\times 14\times 13\times 12}{1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6}=12376$

(2)

$C_{17}^{11}\cdot C_{11}^1=136136$

例题 2

解：

（1）

$C_{100}^3=\frac{100\times 99\times 98}{1\times 2\times 3}=161700$

（2）

$C_2^1\cdot C_{98}^2=2\times \frac{98\times 97}{1\times 2}=9506$

（3）

$\{\begin{array}{l}1\mathrm{次}，C_2^1\cdot C_{98}^2=9506\\ 2\mathrm{次}，C_2^2\cdot C_{98}^1=98\end{array}$

总共有 $9604$ 种。