难度： 困难

标签： 圆锥曲线最值范围问题定点定值问题切线问题双切线问题切点弦方程

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$a^2+a^2\cdot \frac{1}{2}=6$

$\frac{3}{2}{a}^2=6$

$a^2=4$

$a=2,2c=2$

$c=1$

$b=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$

$C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

解（2）法一：切点弦法

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，$G(t,0)$

$\frac{y_1+y_2}{x_1-x_2}=\frac{y_1}{x_1-t}$

$x_1{y}_1-x_2{y}_1=x_1{y}_1+x_1{y}_2-(y_1+y_2)t$

$t=\frac{x_1{y}_2+x_2{y}_1}{y_1+y_2}$

设直线 $AB:\frac{4x}{4}+\frac{y_{p}y}{3}=1$

即 $AB:x+\frac{y_p}{3}y=1$

$x=-\frac{y_p}{3}y+1$，设 $m=-\frac{y_p}{3}$

$x=my+1$

$t=\frac{(m{y}_1+1)y_2+(m{y}_2+1)y_1}{y_1+y_2}=\frac{2m{y}_1{y}_2+y_1+y_2}{y_1+y_2}$

$=1+2m\frac{y_1{y}_2}{y_1+y_2}$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ x=my+1\end{array}$

$(3m^2+4)y^2+6my-9=0$

$y_1{y}_2=\frac{-9}{3m^2+4},y_1+y_2=\frac{-6m}{3m^2+4}$

$t=1+2m\frac{-9}{-6m}=1+\frac{9}{3}=4$

所以 $|F_{2}G|=3$

$|S_1-S_2|=\frac{1}{2}|F_{2}G|||y_1|-|y_2||$

$=\frac{3}{2}|y_1+y_2|$

$=\frac{3}{2}\frac{6m}{3m^2+4},m\ne 0$

$=9\frac{1}{3m+\frac{4}{m}}$

$⩽9\frac{1}{2\sqrt{12}}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$

当且仅当 $3m^2=4,m=\frac{2\sqrt{3}}{3}$ 时取等。

解（2）法二：设切线法，用 $k_1,m_1$ 表示切点。

设切线 $y-y_p=k(x-4)=kx-4k$

$y=kx+y_p-4k$

令 $m=y_p-4k$

$y=kx+m$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=kx+m\end{array}$

$(3+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-12=0$

${\mathrm{\Delta }}_x=4\times 4\times 3\times (4k^2+3-m^2)=0$

$m^2=4k^2+3$

$2x_A=\frac{-8k_1{m}_1}{3+4k_1^2},x_A=\frac{-4k_1{m}_1}{3+4k_1^2}=\frac{-4k_1}{m_1}$

$y_A=\frac{-4k^{2}m+3m+4m{k}^2}{3+4k^2}=\frac{3m}{3+4k^2}=\frac{3m}{m^2}=\frac{3}{m_1}$

所以 $x_B=\frac{-4k_2}{m_2},y_B=\frac{3}{m_2}$

$A(\frac{-4k_1}{m_1},\frac{3}{m_1})$

$B(\frac{-4k_2}{m_2},\frac{3}{m_2})$

$B^{\prime }(\frac{-4k_2}{m_2},\frac{-3}{m_2})$

设 $G(t,0)$

$\frac{\frac{3}{m_1}}{-\frac{4k_1}{m_1}-t}=\frac{-\frac{3}{m_2}}{\frac{-4k_2}{m_2}-t}$

$\frac{3}{-4k_1-m_{1}t}=\frac{-1}{-4k_2-m_{2}t}$

$t=\frac{-4(k_1+k_2)}{m_1+m_2}$

$=-4\frac{\frac{2}{3}{y}_p}{-4(k_1+k_2)+2y_p}$

$t=-4\frac{2}{3}{y}_p\frac{1}{-4\frac{2}{3}{y}_p+2y_p}$

$=4$

$|S_1-S_2|=\frac{3}{2}|y_A+y_B|$

$=\frac{3}{2}|\frac{3}{m_1}+\frac{3}{m_2}|$

$=\frac{9}{2}|\frac{m_1+m_2}{m_1{m}_2}|$

$=\frac{9}{2}|\frac{-4(k_1+k_2)+2y_p}{(-4k_1+y_p)}|$

$=\frac{9}{2}|\frac{-\frac{8}{3}{y}_p+2y_p}{16k_1{k}_2-4y_p(k_1+k_2)+y_p^2}|$

$\frac{=\frac{9}{2}|2y_p}{-y_p^2-12|}$

$ = {9\over 2} |y_p \over y_p^2 + 12|$

$⩽9\frac{1}{2\times 2\sqrt{3}}$

$=\frac{3}{4}\sqrt{3}$

TIP

当有对称轴时，当心可能会有直线过定点。

TIP

上下两个面积相减，且上下两个点 $A,B$ 一定在 $x$ 轴的上下两侧，则 $S_1-S_2=\frac{1}{2}\times \mathrm{底}\times |y_1+y_2|$

因为 $y_1,y_2$ 的符号相反，所以 $|y_1+y_2|=||y_1|-|y_2||$

注意不是 $|y_1-y_2|$，当求 $S_1+S_2$ 时才是 $|y_1-y_2|$！！