03 点、直线距离公式

两点距离公式

有 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 两个点，它们之间的距离为

$d=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$

点到直线距离

假设我们有一个点 $P(x_0,y_0)$，一条直线（必须用一般形式表示）$Ax+By+C=0$，那么点到直线的距离

$d=\frac{|A\times x_0+B\times y_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

TIP

很简单，就是将点的坐标带入直线方程的左边。然后除以 $\sqrt{A^2+B^2}$。

推导过程有点麻烦，这里就不推导了。

两平行直线之间的距离

假设有两条平行直线的方程，这两个方程的 $A,B$ 系数必须一样，才能使用两平行直线之间的距离公式。

$\{\begin{array}{l}Ax+By+C_1=0\\ Ax+By+C_2=0\end{array}$

这两条直线之间的距离 $d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$

直线过定点结论

一条直线的方程不管是一般式，点斜式等形式，如果它的系数只有一个未知数，那么它一定过一个定点。

比如直线 $(a-1)x+y+7=0$

我们把它看作是以 $a$ 为未知数的方程，方程变为

$xa-x+y+7=0$

当 $x=0$ 时，直线方程与 $a$ 没有关系。这时满足

$\{\begin{array}{l}x=0\\ -x+y+7=0\end{array}$

解出 $\{\begin{array}{l}x=0\\ y=-7\end{array}$

换句话说，不管 $a$ 为多少，直线一定过点 $(0,-7)$。

例题

例题 1（点到直线距离）

已知点 $A(1,3),B(3,1),C(-1,0)$，求 $\mathrm{△}ABC$ 的面积。

解：

法一：

用向量求解。

$\overrightarrow{AB}=(2,-2)$

$\overrightarrow{AC}=(-2,-3)$

所以 $S_{ABC}=\frac{1}{2}sinA\cdot bc=\frac{1}{2}|2\times (-3)-(-2)\times (-2)|$

$=\frac{1}{2}|-6-4|=\frac{1}{2}\times 10=5$

法二：

用点到直线距离公式求解。

$l_{AB}:y=\frac{-2}{2}(x-1)+3=-(x-1)+3=-x+4$

$l_{AB}:x+y-4=0$

$|AB|=\sqrt{(3-1{)}^2+(1-3{)}^2}=2\sqrt{2}$

$h=\frac{|-1+0-4}{\sqrt{1^2+1^2}|}=\frac{5}{\sqrt{2}}$

$S_{\mathrm{△}ABC}=\frac{1}{2}\cdot |AB|\cdot h=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times \frac{5}{\sqrt{2}}=5$

例题 2（两直线距离）

已知直线 $l_1:2x-7y-8=0,l_2:6x-21y-1=0$， $l_1$ 与 $l_2$ 是否平行？若平行，求 $l_1$ 与 $l_2$ 间的距离。

解：

$l_{\frac{2}{3}}=2x-7y-\frac{1}{3}=0$

所以平行。

$d=\frac{|-8+\frac{1}{3}|}{\sqrt{2^2+7^2}}=\frac{\frac{23}{3}}{\sqrt{53}}=\frac{23}{3\sqrt{53}}$

例题 3（恒过定点）

已知 $a\in R$，若不论 $a$ 为何值时，直线 $l:(1-2a)x+(3a+2)y-a=0$ 总经过一个定点，则这个定点的坐标是（）。

解：

因为这个方程的系数中只有一个未知数，所以这条直线一定过一个定点，与 $a$ 的取值无关。

我们将方程变为关于 $a$ 的直线方程：

$x-2xa+3ya+2y-a=0$

$(3y-2x-1)a+x+2y=0$

当 $3y-2x-1=0$ 时，$a$ 的取值不会影响方程。

所以

$$\begin{gathered} 3y-2x-1=0 \\ x+2y=0 \end{gathered}$$

解得 $y=\frac{1}{7},x=-\frac{2}{7}$

所以直线过定点 $(-\frac{2}{7},\frac{1}{7})$