椭圆、双曲线的硬解定理

引出

假设在椭圆中，一条直线过 x 轴上的一点 $F(n,0)$，与椭圆交两点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，坐标原点为 $O$，那么 $S_{\mathrm{△}OAB}=\frac{1}{2}|n||y_1-y_2|$

若这条直线过在 y 轴上的一点 $(0,m)$

那么 $S_{\mathrm{△}ABC}=\frac{1}{2}|m||x_1-x_2|$

TIP

可以根据公式代换，这两个公式是等价的。

$\frac{1}{2}|n||y_1-y_2|=\frac{1}{2}|n||k{x}_1-k{x}_2|=\frac{1}{2}|k||n||x_1-x_2|$

$=\frac{1}{2}|m||x_1-x_2|$

n 为横截距，m 为纵截距。

看到这个图时，会不会有一种不能使用此公式的感觉？其实是可以使用这个公式的，使用割补法后最后还是变成这个式子。

我们来讨论下直线过 x 轴上点 $(n,0)$ 的情况。

求 S 的一般公式

$S_{\mathrm{△}ABC}=\frac{1}{2}|n||y_1-y_2|$

$=\frac{1}{2}|n|\sqrt{(y_1+y_2{)}^2-4y_1{y}_2}$

求 S 高级一点的公式

若直线与椭圆联立后的一元二次方程为 $a{y}^2+by+c=0$，那么

$S_{\mathrm{△}ABC}=\frac{1}{2}|n|\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}$

$=\frac{1}{2}|n|\frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{|a|}$

求 S 的终极公式

终极公式就是硬解定理。

椭圆的硬解定理

椭圆的硬解定理，只记住两个公式。一个是 $\mathrm{\Delta }$，一个是直线与椭圆联立后的一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0$（或 $a{y}^2+by+c=0$）的二次项系数。

对

$$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{M}+\frac{y^2}{N}=1\\ \\ Ax+By+C=0\end{array}$$

$x^2\mathrm{下}\mathrm{的}\mathrm{是}M，y^2\mathrm{下}\mathrm{的}\mathrm{是}N，\mathrm{不}\mathrm{管}M，N\mathrm{谁}\mathrm{大}$

联立后可得二次方程 $a{x}^2+bx+c=0$（或 $a{y}^2+by+c=0$）

那么有

$$\{\begin{array}{l}a=M{A}^2+N{B}^2\\ \\ {\mathrm{\Delta }}_x=4MN{B}^2(a-C^2)=4MN{B}^2(a-\mathrm{截}{\mathrm{距}}^2)\\ \\ {\mathrm{\Delta }}_y=4MN{A}^2(a-C^2)=4MN{A}^2(a-\mathrm{截}{\mathrm{距}}^2)\end{array}$$

记忆技巧，${\mathrm{\Delta }}_x=4MN{B}^2(a-C^2)$，$XB$，谐音 **

TIP

${\mathrm{\Delta }}_x$ 代表关于 $x$ 的一元二次方程（$a{x}^2+bx+c=0$）的 $\mathrm{\Delta }$

${\mathrm{\Delta }}_y$ 代表关于 $y$ 的一元二次方程（$a{y}^2+by+c=0$）的 $\mathrm{\Delta }$

双曲线的硬解定理

和椭圆类似，只不过将 $N$ 全变为 $-N$。

比如有双曲线 $\frac{x^2}{M}-\frac{y^2}{N}=1$，

实际上可以看作 $\frac{x^2}{M}+\frac{y^2}{-N}=1$

那么 $|a|=|M{A}^2-N{B}^2|$

${\mathrm{\Delta }}_x=4M(-N)B^2(M{A}^2-N{B}^2-C^2)$

${\mathrm{\Delta }}_y=4M(-N)A^2(M{A}^2-N{B}^2-C^2)$

推导

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{M}-\frac{y^2}{N}=1\\ Ax+By+C=0\end{array}$

$N{x}^2-M{y}^2-MN=0$

$x=-\frac{B}{A}y-\frac{C}{A}$

$N(\frac{B}{A}y+\frac{C}{A}{)}^2-M{y}^2-MN=0$

$(N\frac{B^2}{A^2}-M)y^2+2N\frac{BC}{A^2}y+N\frac{C^2}{A^2}-MN=0$

$(N{B}^2-M{A}^2)y^2+2NBCy+N{C}^2-MN{A}^2=0$

${\mathrm{\Delta }}_y=4N^2{B}^2{C}^2-4(N{B}^2-M{A}^2)(N{C}^2-MN{A}^2)$

$=4N^2{B}^2{C}^2-4(N^2{B}^2{C}^2-M{N}^2{A}^2{B}^2-MN{A}^2{C}^2+M^{2}N{A}^4)$

$=-4(-M{N}^2{A}^2{B}^2-MN{A}^2{C}^2+M^{2}N{A}^4)$

$=4MN{A}^2(N{B}^2+C^2-M{A}^2)$

$=4M(-N)A^2(M{A}^2-N{B}^2-C^2)$

其它

1

当是以下情况算 $\mathrm{\Delta }$ 时，$A^2$ 或 $B^2$ 总是等于 1.

一、如果直线方程是 $y=kx+m$，且要算 $|x_1-x_2|$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{M}+\frac{y^2}{N}=1\\ y=kx+m\end{array}$

此时如果算 $S_{\mathrm{△}OAB}=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$，那么 ${\mathrm{\Delta }}_x=4MN\times 1^2(M{A}^2+N{B}^2-m^2)$

二、如果直线方程是 $x=my+n$，且要算 $|y_1-y_2|$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{M}+\frac{y^2}{N}=1\\ x=my+n\end{array}$

${\mathrm{\Delta }}_y=4MN\times 1^2(M{A}^2+N{B}^2-m^2)$