难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题面积之比问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$A(x_1,\frac{x_1^2}{2p})$

$AF=AR=y_1+\frac{p}{2}$

$\frac{p}{2}=1,p=2$

$x^2=4y$

$R(x_1,-1),F(0,1)$

$FR$ 中点为 $E(\frac{x_1}{2},0)$

$k^{\prime }=k_{AE}=\frac{\frac{x_1^2}{2p}}{\frac{x_1}{2}}=\frac{x_1}{2}$

而在点 A 处的斜率为 $k_A=\frac{1}{2}{x}_1$

所以 $l^{\prime }$ 是抛物线的切线。

解（2）

设 $A(x_1,\frac{x_1}{4}),B(x_2,\frac{x_2}{4})$

设 $C(x_3,\frac{x_3^2}{4}),D(x_4,\frac{x_4^2}{4})$

$\frac{S_2}{S_1}=\frac{CG\cdot DG}{AG\cdot BG}=\frac{x_C{x}_D}{x_A{x}_B}=\frac{x_C\cdot x_D}{x_A\cdot x_B}$

$=\frac{x_3{x}_4}{x_1{x}_2}$

$y^{\prime }=\frac{1}{2}x,k_A=\frac{1}{2}{x}_1$

$k_{AC}=\frac{-2}{x_1}$

$l_{AC}:y-\frac{x_1^2}{4}=-\frac{2}{x_1}(x-x_1)$

$x=0,y=2+\frac{x_1^2}{4}$

$G(0,2+\frac{x_1^2}{4})$

A、G、C 三点共线

$\frac{-2}{x_1}=\frac{x_1+x_3}{4}$

$x_3=-\frac{8}{x_1}-x_1$

B、G、D 三点共线

$\frac{\frac{x_2^2}{4}-\frac{x_1^2}{4}-2}{x_2}=\frac{x_2+x_4}{4}$

$x_2^2+x_2{x}_4=x_2^2-x_1^2-8$

$x_4=\frac{-x_1^2-8}{x_2}$

$\{\begin{array}{l}{x}^2=4y\\ y=kx+1\end{array}$

$x^2-4(kx+1)=0$

$x^2-4kx-4=0$

$x_1{x}_2=-4,x_1+x_2=4k$

$\frac{S_2}{S_1}=\frac{x_3{x}_4}{-4}$

$x_3{x}_4=(\frac{8}{x_1}+x_1)(\frac{x_1^2+8}{x_2})$

$=(\frac{8}{x_1}+x_1)(x_1^2+8)\frac{x_1}{-4}$

$=-\frac{1}{4}(8+x_1^2)(x_1^2+8)$

$=-\frac{1}{4}(x_1^2+8{)}^2$

所以 $\frac{S_2}{S_1}=\frac{1}{16}(x_1^2+8{)}^2>\frac{1}{16}\times 64=4$

TIP

开口向上的抛物线比如 $x^2=2py$，在抛物线上的两点 $A(x_1,\frac{x_1^2}{2p}),B(x_2,\frac{x_2^2}{2p})$ 构成的直线的斜率为 $\frac{x_1+x_2}{2p}$（两点横坐标之和除以 $2p$）