难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题韦达定理齐次式

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=2ax-x^2-2lnx.$

（1）若 $f(x)$ 在定义域内单调，求实数 a 的取值范围

（2）若 $a⩽\frac{5}{2}$，$m,n$ 分别为函数 $f(x)$ 的极大值和极小值，求 $m-n$ 的取值范围

第一问

$f^{\prime }(x)=2a-2x-\frac{2}{x}$

$=\frac{2ax-2x^2-2}{x}$

$=\frac{2(-x^2+ax-1)}{x},x>0$

当 $\mathrm{\Delta }=a^2-4⩽0$ 时，

即 $-2⩽a⩽2$ 时，

$f^{\prime }(x)$ 在 $(0,+\mathrm{\infty }),f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

符合题意

当 $\mathrm{\Delta }=a^2-4>0$ 时，

即 $a>2$ 或 $a<-2$ 时，

需满足 $-\frac{a}{-2}=\frac{a}{2}<0$

所以 $a<0$

所以 $a<-2$

综上，$a\in (-\mathrm{\infty },2]$

第二问

由题意得，$2<a⩽\frac{5}{2}$

$-x^2+ax-1=0$ 有两个根

$x_1+x_2=a$

$x_1\cdot x_2=1$

设 $x_1$ 为极小值点，$x_2$ 为极大值点

$m-n=f(x_2)-f(x_1)$

$2a{x}_2-x_2^2-2ln{x}_2-(2a{x}_1-x_1^2-2ln{x}_1)$

$=2a(x_2-x_1)+x_1^2-x_2^2+2ln{x}_1-2ln{x}_2$

$=a(x_2-x_1)+2ln\frac{x_1}{x_2}$

$=x_2^2-x_1^2+2ln\frac{x_1}{x_2}$

两边同除 $x_1{x}_2$

$m-n=\frac{x_2}{x_1}-\frac{x_1}{x_2}+2ln\frac{x_1}{x_2}$

令 $\frac{x_2}{x_1}=t,t>1$

因为 $2<x_1+x_2⩽\frac{5}{2}$

为什么要平方？为了构造 $x_1$ 和 $x_2$ 的分式。

$4<x_1^2+x_2^2+2x_1{x}_2⩽\frac{25}{4}$

$4<\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}+2⩽\frac{25}{4}$

$2<\frac{1}{t}+t⩽\frac{17}{4}$

所以 $1<t⩽4$

令 $g(t)=t-\frac{1}{t}-2lnt$

$g^{\prime }(t)=1+\frac{1}{t^2}-\frac{2}{t}$

$=\frac{t^2-2t+1}{t^2}=\frac{(t-1{)}^2}{t^2}>0$

所以 $g(t)$ 单增

$0<g(t)⩽\frac{15}{4}-4ln2$

TIP

对于这种相减的题，韦达定理的加法是定值还是乘法是定值，有不同的解法。

如果乘法为定值，那么把未知数消掉用 $x_1,x_2$ 的分式表示。