难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题面积之比问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

看清楚，点 M 不是 $C_1$ 的焦点，所以不能用抛物线的定义来做！

设 $l:x=my+1$

$|BM|=-\sqrt{1+m^2}{y}_2,|AB|=\sqrt{1+m^2}{y}_1$

所以 $-\frac{1}{\sqrt{1+m^2}{y}_2}-\frac{1}{\sqrt{1+m^2}{y}_1}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$-\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}(\frac{1}{y_2}+\frac{1}{y_1})=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$-\frac{1}{\sqrt{1+m^2}}\frac{y_1+y_2}{y_1{y}_2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\{\begin{array}{l}{y}^2=2x\\ x=my+1\end{array}$

$y^2-2my-2=0$

$y_1{y}_2=-2,y_1+y_2=2m$

所以 $\frac{m}{\sqrt{1+m^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},(m>0)$

$m=1$

$x=y+1$

解（2）①

设 $l:x=my+n$

$\{\begin{array}{l}{y}^2=2x\\ x=my+n\end{array}$

$y^2-2my-2n=0$

$y_1{y}_2=-2n,y_1+y_2=2m$

$\{\begin{array}{l}{y}^2=4x\\ x=my+n\end{array}$

$y_3{y}_4=-4n,y_3+y_4=4m$

$\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}=\frac{y_1+y_2}{y_1{y}_2}=-\frac{m}{n}$

$\frac{1}{y_3}+\frac{1}{y_4}=-\frac{m}{n}$

所以 $\frac{1}{y_1}+\frac{1}{y_2}=\frac{1}{y_2}+\frac{1}{y_4}$

解（2）②

$\frac{S_1}{S_2}=\frac{AB}{CD}=\frac{y_1-y_2}{y_3-y_4}$

$AC=2BD$

$\sqrt{1+m^2}(y_3-y_1)=2\sqrt{1+m^2}(y_2-y_4)$

$y_3-y_1=2(y_2-y_4)$

若根据 ① 的提示来做，那么：

$\frac{1}{y_1}-\frac{1}{y_3}=\frac{1}{y_4}-\frac{1}{y_2}$

$\frac{y_3-y_1}{y_1{y}_3}=\frac{y_2-y_4}{y_2{y}_4}$

$\frac{2}{y_1{y}_3}=\frac{1}{y_2{y}_4}$

$y_1{y}_3=2y_2{y}_4$

$\frac{1}{2}=\frac{y_2{y}_4}{y_1{y}_3}$

又根据韦达 $\frac{1}{2}=\frac{y_1{y}_2}{y_3{y}_4}$

$\frac{y_1{y}_2}{y_3{y}_4}=\frac{y_2{y}_4}{y_1{y}_3}$

$y_1^2=y_4^2$

$y_1=-y_4$

若不根据 ① 的提示来做，也能得出 $y_1=-y_4$：

根据 $y_1+y_2=2m,y_3+y_4=4m$，相减，得

$y_3-y_1+y_4-y_2=2m$

$y_3-y_1=2m+(y_2-y_4)$

所以 $2(y_2-y_4)=2m+(y_2-y_4)$

$2m=y_2-y_4=y_1+y_2$

所以 $y_1=-y_4$

接下来，都是一样的步骤了：

$-y_2{y}_4=-2n,-y_4+y_2=2m$

$y_3{y}_4=-4n,y_3+y_4=4m$

$-\frac{y_2}{y_3}=\frac{1}{2},y_2+y_3=6m$

$y_2=-\frac{1}{2}{y}_3,\frac{y_3}{2}=6m$

$y_3=12m$

$y_2=-6m$

$y_1=2m-y_2=8m$

$y_4=4m-y_3=-8m$

$\frac{S_1}{S_2}=\frac{8m+6m}{12m+8m}=\frac{7}{10}$

TIP

弦长公式，yyds！