难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题同构定区间动零点极值点偏移条件转换

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 根据题目中条件得到一个等式，但不知道这个等式意味着什么。其实通过同构，这个等式是想表达极值点偏移这个事情。

已知函数 $f(x)=\frac{e^x}{x}-k\frac{1}{x}+lnx$

（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；

（2）若 $f(x)$ 存在极小值，且极小值等于 $-(lnk{)}^2$，求证：$k+lnk>2e$

第一问

一、当 $k⩽0$

$0<x<1,f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

$x>1,f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

二、当 $k>0$

1）当 $lnk⩽0$ 时

即 $0<k⩽1$ 时

$0<x<1,f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

$x>1,f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

2）当 $0<lnk<1$

即 $1<k<e$ 时

$0<x<lnk,f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

$lnk<x<1,f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

$x>1,f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

3）当 $lnk=1$

即 $k=e$ 时，

$x>0,f^{\prime }(x)⩾0,f(x)\uparrow$

4）当 $lnk>1$

即 $k>e$ 时

$0<x<1,f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

$1<x<lnk,f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

$x>lnk,f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

第二问

$e>k>0,f(1)=e-k=-(lnk{)}^2$，不符题意。

$k>e,f(lnk)=\frac{k}{lnk}-k(\frac{1}{lnk}+ln(lnk))=-(lnk{)}^2$

$-kln(lnk)=-(lnk{)}^2$

$kln(lnk)=(lnk{)}^2$

令 $t=lnk,t>1,k=e^t$

所以 $e^{t}lnt=t^2$

即证 $e^t+t>2e,t>1$

所以 $\frac{lnt}{t}=\frac{t}{e^t}$

令 $g(x)=\frac{lnx}{x}$

则 $g(t)=g(e^t)$

$g^{\prime }(x)=\frac{1-lnx}{x^2}$

令 $x_1=t,x_2=e^t,x_2>e>x_1>1$

则证 $x_2+x_1>2e$

$x_2>2e-x_1$

$g(x_1)=g(x_2)<g(2e-x_1)$

令 $G(x)=g(x)-g(2e-x),1<x<e$

抽象函数求导

$G^{\prime }(x)=g^{\prime }(x)+g^{\prime }(2e-x)$

$=\frac{1-lnx}{x^2}+\frac{1-ln(2e-x)}{(2e-x{)}^2}$

$\frac{=(4e^2-4ex+x^2)(1-lnx)+x^2[1-ln(2e-x)]}{x^2(2e-x{)}^2}$

$=\frac{4e^2-4ex+x^2-(4e^2-4ex+x^2)lnx+x^2-x^{2}ln(2e-x)}{x^2(2e-x{)}^2}$

$=\frac{4e(e-x)-(4e^2-4ex+x^2)lnx+x^2[2-ln(2e-x)]}{x^2(2e-x{)}^2}>0$

所以 $G^{\prime }(x)>0$

所以 $G(x)\uparrow ,G(e)=g(e)-g(e)=0$

所以 $G(x)<0$

得证。