02 直线的方程

最基本的直线方程：$y=kx+b$。除此之外，还有更方便的几种表示形式（最终化简其实都是一样的）。

$\mathrm{一}\mathrm{般}\mathrm{式}：Ax+By+C=0\{\begin{array}{l}\mathrm{点}\mathrm{斜}\mathrm{式}\\ \mathrm{斜}\mathrm{截}\mathrm{式}\\ \mathrm{截}\mathrm{距}\mathrm{式}\\ \mathrm{两}\mathrm{点}\mathrm{式}\end{array}$

点斜式

限制条件

$k$ 必须能表示出来。

推导过程：

假设一条直线有一个定点 $(x_0,y_0)$，还有一个一直在变换位置的动点 $(x,y)$，那么我们可以表示出这条直线的斜率 $k=\frac{y-y_0}{x-x_0}$。

即点斜式 $y-y_0=k(x-x_0)$。

但我们一般用点斜式的变式，将 $y_0$ 移到等式右边变成：

$y=k(x-x_0)+y_0$

TIP

当我们知道一条直线的斜率 $k$，并且知道它经过的一个点，那么我们可以很轻松的用点斜式表示出这条直线。

斜截式

限制条件

$k$ 必须能表示出来。

假设我们已知一条直线经过点 $(0,b)$，并且它的斜率为 $k$，根据点斜式我们能很快得出它的直线方程：

$y=k(x-0)+b$

$y=kx+b$

这其实就是我们初中学的“斜截式”。

“斜”代表斜率，“截”代表截距，分纵截距和横截距两种，这里指的是纵截距。

截距式

限制条件

直线不能过原点。

由斜截式我们可以引出截距式：

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1(a\mathrm{为}\mathrm{横}\mathrm{截}\mathrm{距}，b\mathrm{为}\mathrm{纵}\mathrm{截}\mathrm{距}，\mathrm{且}ab\ne 0)$

如果我们将 $(0,b)$ 或 $(a,0)$ 带入式子，会发现式子成立。

两点式

限制条件

两点的横坐标、纵坐标不能相同。

$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$

两点式由点斜式推出，假设已知直线上的两点 $(x_1,y_1)\mathrm{和}(x_2,y_2)$，那么我们根据点斜式得

$y-y_1=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$，

两边同除 $y_2-y_1$，得

$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$

不过我们一般使用点斜式，两点式很少使用。

例题

例题 1

解：

设 $A^{\prime }$ 为 $A$ 关于直线 $x+y-3=0$ 的对称点。

$k=1=\frac{n-(-2)}{m-1}=\frac{m+2}{m-1}$

$n+2=m-1$

因为 $Q(\frac{m+1}{2},\frac{m-5}{2})$ 在 $x+y-3$ 上，所以

$\frac{m+1}{2}+\frac{m-5}{2}-3=0$

$m+1+m-5-6=0$

$m=5$

$A^{\prime }(5,2)$

所以 $AP+PB=\sqrt{1^2+6^2}=\sqrt{37}$