06 具体角度的求值（中档）

说说

我们需要记住一些特殊的角：

$\{\begin{array}{l}{30}^{\circ }\\ {45}^{\circ }\\ {60}^{\circ }\\ {90}^{\circ }\\ {180}^{\circ }\end{array}$

然后利用三角函数公式求解。

比如 $sin{75}^{\circ }=sin({30}^{\circ }+{45}^{\circ })$

尝试解题思路和角度

$\mathrm{角}\mathrm{度}\mathrm{方}\mathrm{面}\{\begin{array}{l}（{20}^{\circ }={10}^{\circ }\times 2）\\ {20}^{\circ }+{10}^{\circ }={30}^{\circ }\end{array}$

$\mathrm{形}\mathrm{式}\mathrm{方}\mathrm{面}（\mathrm{公}\mathrm{式}\mathrm{的}\mathrm{形}\mathrm{式}）\{\begin{array}{l}cos({20}^{\circ }-{10}^{\circ })\\ cos({15}^{\circ }+{15}^{\circ })\end{array}$

例题 1

计算 $sin{15}^{\circ }\cdot sin{105}^{\circ }$ 的结果是（）。

解：

$\mathrm{原}\mathrm{式}=sin{15}^{\circ }sin({90}^{\circ }+{15}^{\circ })$

$=sin{15}^{\circ }cos{15}^{\circ }$

$=\frac{1}{2}\cdot sin{30}^{\circ }$

$=\frac{1}{4}$

例题 2

$cos{10}^{\circ }-2cos{20}^{\circ }\cdot cos{10}^{\circ }=$____。

解：

$\mathrm{原}\mathrm{式}=cos({20}^{\circ }-{10}^{\circ })-2cos{20}^{\circ }\cdot cos{10}^{\circ }$

$=cos{20}^{\circ }cos{10}^{\circ }+sin{20}^{\circ }\cdot sin{10}^{\circ }-2cos{20}^{\circ }\cdot cos{10}^{\circ }$

$=sin{20}^{\circ }\cdot sin{10}^{\circ }-cos{20}^{\circ }\cdot cos{10}^{\circ }$

$-cos({20}^{\circ }+{10}^{\circ })$

$=-cos{30}^{\circ }$

$=-\frac{\sqrt{3}}{2}$

例题 3

求 $tan{20}^{\circ }+4sin{20}^{\circ }$

解：

该题有点难度！我一开始没做出来。

$\mathrm{原}\mathrm{式}=\frac{sin{20}^{\circ }}{cos{20}^{\circ }}+\frac{4sin{20}^{\circ }\cdot cos{20}^{\circ }}{cos{20}^{\circ }}$

$=\frac{sin{20}^{\circ }+4sin{20}^{\circ }\cdot cos{20}^{\circ }}{cos{20}^{\circ }}$

$=\frac{sin{20}^{\circ }+2sin{40}^{\circ }}{cos{20}^{\circ }}$

到这里就有两种路可以走，一种会比较麻烦，但也能做出来。一种就会比较简单，就看你怎么想的。

第一种（相对麻烦）

将分子的 ${20}^{\circ }$ 变为 ${40}^{\circ }$，但这时分母依然是 ${20}^{\circ }$，后面可能需要再进行处理。

$=\frac{sin({60}^{\circ }-{40}^{\circ })+2sin{40}^{\circ }}{cos{20}^{\circ }}$

$=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot cos{40}^{\circ }-\frac{1}{2}\cdot sin{40}^{\circ }+2sin{40}^{\circ }}{cos{20}^{\circ }}$

$=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}cos{40}^{\circ }+\frac{3}{2}sin{40}^{\circ }}{cos{20}^{\circ }}$

这里再利用辅助角公式，刚好可以化简！可能就是故意设计得这么巧妙的！

$=\frac{\sqrt{3}cos{40}^{\circ }+3sin{40}^{\circ }}{2cos{20}^{\circ }}$

$=\frac{\sqrt{12}\cdot (\frac{1}{2}cos{40}^{\circ }+\frac{\sqrt{3}}{2}sin{40}^{\circ })}{2cos{40}^{\circ }}$

$=\frac{\sqrt{12}\cdot sin({30}^{\circ }+{40}^{\circ })}{2cos{40}^{\circ }}$

$=\frac{\sqrt{12}sin({90}^{\circ }-{20}^{\circ })}{2cos{20}^{\circ }}$

$=\frac{\sqrt{12}\cdot cos{20}^{\circ }}{2cos{20}^{\circ }}=\sqrt{3}$

第二种（相对简单）

$\mathrm{原}\mathrm{式}=\frac{sin{20}^{\circ }+2sin({60}^{\circ }-{20}^{\circ })}{cos{20}^{\circ }}$

$=\frac{sin{20}^{\circ }+2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot cos{20}^{\circ }-\frac{1}{2}\cdot sin{20}^{\circ })}{cos{20}^{\circ }}$

$=\frac{\sqrt{3}cos{20}^{\circ }}{cos{20}^{\circ }}$

$=\sqrt{3}$