难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题面积之比问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$F_1(-1,0)$

$c=1$

$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$

$a=2$

$b^2=a^2-c^2=4-1=3$

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$

解（2）法一：根据的题目的说明，需要有一个意识：可能 $\lambda +\mu$ 或 $\lambda \mu$ 为一个定值

可能 $\lambda +\mu$ 或 $\lambda \mu$ 为一个定值，这样最后要求的式子可能含有 $\lambda$ 和 $\mu$，可以用 $\lambda$ 和 $\mu$ 的关系式代换为只含 $\lambda$ 或 $\mu$ 的式子。

$m{S}_2=S_1+\lambda S_3$

$m=\frac{S_1}{S_2}+\lambda \frac{S_3}{s_2}$

设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),(y_1{y}_2<0)$

$m=\frac{\frac{1}{2}c(y_1-y_2)}{\frac{1}{2}c{y}_1}+\lambda (-1)\frac{\frac{1}{2}c{y}_2}{\frac{1}{2}c{y}_1}$

$=1-\frac{y_2}{y_1}-\lambda \frac{y_2}{y_1}$

$=1-(\lambda +1)\frac{y_2}{y_1}$

$x=0,y=t$

$P(0,t)$

$\overrightarrow{PM}=(x_1,y_1-t)$

$\overrightarrow{P{F}_1}=(-1-x_1,-y_1)$

$\overrightarrow{PN}=(x_2,y_2-t)$

$\overrightarrow{N{F}_1}=(-1-x_2,-y_2)$

$(x_1,y_1-t)=(-\lambda (1+x_1),-\lambda y_1)$

$(x_2,y_2-t)=(-\mu (1+x_2),-\mu y_2)$

$y_1-t=-\lambda y_1$

$y_2-t=-\mu y_2$

$(\lambda +1)y_1=t$

$(\mu +1)y_2=t$

$\frac{y_2}{y_1}=\frac{\lambda +1}{\mu +1}$

$m=1-(\lambda +1)\frac{\lambda +1}{\mu +1}$

$=1-\frac{(\lambda +1{)}^2}{\mu +1}$

$x_1=-\lambda (x_1+1)$

$x_2=-\mu (x_2+1)$

$\lambda =-\frac{x_1}{x_1+1},\mu =-\frac{x_2}{x_2+1}$

$\lambda +\mu =-\frac{2x_1{x}_2+x_1+x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=t(x+1)\end{array}$

$(3+4t^2)x^2+8t^{2}x+4t^2-12=0$

$x_1{x}_2=\frac{4t^2-12}{3+4t^2}$

$x_1+x_2=\frac{-8t^2}{3+4t^2}$

$(x_1+1)(x_2+1)=\frac{3+4t^2-8t^2+4t^2-12}{3+4t^2}=\frac{-9}{3+4t^2}$

所以 $\lambda +\mu =-\frac{8t^2-24-8t^2}{-9}=-\frac{8}{3}$

$m=1-\frac{(-\mu -\frac{5}{3}{)}^2}{\mu +1}$

$=1-\frac{{\mu }^2+\frac{10}{3}\mu +\frac{25}{9}}{\mu +1}$

令 $\mu +1=t,\mu =t-1,t\in [-2,-\frac{1}{3}]$

$f(t)=1-\frac{(t-1{)}^2+\frac{10}{3}(t-1)+\frac{25}{9}}{t}$

$=1-t^2+\frac{4}{3}t+\frac{4}{9}$

$=1-t-\frac{4}{3}-\frac{4}{9t}$

$f(t)=-\frac{1}{3}+t+\frac{4}{9t},t\in [\frac{1}{3},2]$

根据对钩函数性质，在 $t=\frac{2}{3}$ 处取得最大值

$f(t{)}_{max}=f(\frac{2}{3})=-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}\times \frac{3}{2}=1$

$f(2)=\frac{17}{9}$

$f(\frac{1}{3})=\frac{4}{3}$

所以 $m=f(t)\in [1,\frac{17}{9}]$

解（2）法二，假设 M 点坐标是 $(x_0,y_0)$，然后其他的 N 点、P 点全部用 $x_0,y_0$ 表示。但有一个问题，比答案的取值范围小一点。

再然后翻译题目的向量条件。

设直线 $M{F}_1:x=\frac{x_0+1}{y_0}y-1$

$$\begin{gathered} \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1 \\ x=\frac{x_0+1}{y_0}y-1 \end{gathered}$$

$3(\frac{x_0+1}{y_0}y-1{)}^2+4y^2-12=0$

$y_0{y}_N=\frac{-9}{3\frac{(x_0+1{)}^2}{y_0^2}+4}=\frac{-9y_0^2}{3(x_0+1{)}^2+4y_0^2}$

$=\frac{-9y_0^2}{6x_0+15}$

$=\frac{-3y_0^2}{2x_0+5}$

$y_N=\frac{-3y_0}{2x_0+5}$

$x=0,y=\frac{y_0}{x_0+1}$

所以 $P(0,\frac{y_0}{x_0+1})$

$m=1-(\lambda )\frac{y_N}{y_0}$

由 $\overrightarrow{PM}=\lambda \overrightarrow{M{F}_1}$ 得

$y_0-\frac{y_0}{x_0+1}=\lambda (-y_0)$

$1-\frac{1}{x_0+1}=-\lambda$

$\lambda =\frac{-x_0}{x_0+1}$

$m=1+\frac{3}{(x_0+1)(2x_0+5)}$

接下来求 $x_0$ 取值范围

有 $\overrightarrow{PN}=\mu \overrightarrow{N{F}_1}$ 得，

$\frac{-3y_0}{2x_0+5}-\frac{y_0}{x_0+1}=\mu \frac{3y_0}{2x_0+5}$

$\mu =-\frac{5}{3}-\frac{1}{x_0+1}$

$\mu \in [-3,-\frac{4}{3}]$

$-3⩽-\frac{5}{3}-\frac{1}{x_0+1}⩽-\frac{4}{3}$

$x_0\in (-\mathrm{\infty },-4]\cup [-\frac{1}{4},+\mathrm{\infty })$

又因为 $x_0$ 在椭圆上，所以

$x_0\in [-\frac{1}{4},2)$

$(x_0+1)(2x_0+5)$ 的对称轴为 $-\frac{7}{4}$

$m$ 最小为 $1+\frac{3}{3\times 9}=\frac{10}{9}$

$m$ 最大为 $1+\frac{8}{9}=\frac{17}{9}$

所以 $m\in (\frac{10}{9},\frac{17}{9}]$

TIP

对于两个点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，如果分别位于 x 轴的上下两侧（y 轴左右两侧，同理），

那么 $y_1{y}_2<0,\frac{y_2}{y_1}<0$。

AB 两点连成线段，与 x 轴交于点 C。

那么 $|\frac{AC}{CB}|=-\frac{y_1}{y_2},|\frac{AC}{AB}|=\frac{y_1}{y_1-y_2}$。

注意 $|\frac{AC}{CB}|$ 要加负号，$|\frac{AC}{AB}|$ 不用加负号！

即要表示线段长度之比，不用加绝对值。因为若 $y_1$ 为负，则 $y_2$ 为正，则 $y_1,y_1-y_2$ 都为负，$\frac{\mathrm{负}}{\mathrm{负}}=\mathrm{正}$。

若 $y_1$ 为正，则 $y_2$ 为负，则 $y_1,y_1-y_2$ 都为正。