09 考点 - 构造函数之导数式 (拔高)

复合函数反求导

$h(x)=xf(2x)$

$h^{\prime }(x)=f(2x)+2x{f}^{\prime }(2x)$

例题 1

已知定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=f(-x)$，且当 $x\in (-\mathrm{\infty },0)$ 时，$f(x)+x{f}^{\prime }(x)<0$ 成立，若 $a=(2^{0.1}\cdot f(2^{0.1}))$，$b=(ln2)\cdot f(ln2)$，$c=(lo{g}_2\frac{1}{8})\cdot f(lo{g}_2\frac{1}{8})$，则 $a,b,c$ 的大小关系式（）

$A.a>b>c$

$B.c>b>a$

$C.c<a<b$

$D.a>c>b$

解：

令 $g(x)=xf(x)$，

当 $x\in (-\mathrm{\infty },0)$ 时，$g^{\prime }(x)=f(x)+x{f}^{\prime }(x)<0$，

所以原函数 $g(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },0)$ 上单调递减。

因为 $f(x)$ 是偶函数，所以 $g(x)$ 是奇函数。

所以 $g(x)$ 在 $R$ 上单调递减。

$a=g(2^{0.1}),b=g(ln2),c=g(-3)$

所以答案选 $B.$

以 1 为界限预估大小。

$0<ln2<1$

$2^{0.1}>1$

$\frac{2^{0.1}}{ln2}=2^{-0.1}ln2=0.98ln2=0.98\times 0.7<1$

$2^{0.1}<ln2$

所以 $-3<ln2<2^{0.1}$

例题 2

设函数 $f^{\prime }(x)$ 是奇函数 $f(x)$ 的导函数，$f(1)=0$，当 $x>0$ 时，$x{f}^{\prime }(x)-f(x)<0$，则使得 $f(x)>0$ 成立的 $x$ 的取值范围是_____。

解：

令 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$

$x>0,g^{\prime }(x)=\frac{x{f}^{\prime }(x)-f(x)}{x^2}<0$

所以 $x>0,g(x)$ 单调递减。

注意

是求 $f(x)>0$ 成立的 $x$ 的取值范围，不会 $g(x)$ ！！！！

$x<-1,g(x)<0,f(x)>0$

$-1<x<0,g(x)>0,f(x)<0$

再由 $f(x)$ 是奇函数的性质，得到

$x\in (-\mathrm{\infty },-1)\cup (0,1)$

例题 3

已知偶函数 $f(x)(x\ne 0)$ 的导函数为 $f^{\prime }(x)$，且满足 $f(-1)=0$，当 $x>0$ 时，$2f(x)>x{f}^{\prime }(x)$，则使得 $f(x)>0$ 成立的 $x$ 的取值范围是___.

解：

$(-1,1)$