05 基础课：单摆

单摆

将一小球用细绳悬挂起来，把小球拉离最低点释放后，小球就会来回摆动。

当绳长不变、忽略空气阻力、绳长远大于小球半径时，叫单摆。

单摆是机械振动，平衡位置是最低点。

绳与竖直方向最大夹角小于 5°时，小球做简谐运动。

证明小于 5°的单摆是简谐运动

证明 $F_{\mathrm{回}}=-kx$

$F=Gsin\theta$

$2\alpha +\theta ={180}^{\circ }$

因为 $\theta \approx 0(0-5^{\circ })$

$2\alpha \approx {180}^{\circ }$

$\alpha \approx {90}^{\circ }$

所以 $\alpha \approx {90}^{\circ }$

$sin\theta \approx \frac{x}{l}$

$F=G\frac{x}{l}=\frac{G}{l}x$

$F=kx$

证毕。

径向和切向

做简谐运动的单摆的周期公式

当单摆的角度不超过 5° 时，单摆做的是简谐运动，周期为

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$（需要记住！！）

$l$ 叫摆长。不是指单纯的绳长，而是悬挂点到球心的距离（绳长 + 球的半径）。

$g$ 是单摆所在地的重力加速度。

$T$ 只与 $l,g$ 有关，与球的质量及振幅无关（等时性，只有做简谐运动的单摆有这个性质）

单摆能量分析

小球机械能守恒。重力势能、动能相互转化。

最高、最低点列机械能守恒：$mgh=\frac{1}{2}m{v}^2$

摆长不变时，小球在最低点的速度越快，那么摆上的 h 越大，振幅越大。

例题

题 1

解

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

$C$

题 2

解

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

$C$

题 3

解

$T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

$t=\frac{T_1}{4}+\frac{T_2}{4}$

$T_1=2\pi \sqrt{\frac{0.9}{10}}=0.6\pi$

$T_2=2\pi \sqrt{\frac{2.5}{10}}=\pi$

$t=\frac{0.6\pi +\pi }{4}=0.4\pi$

$B$

题 4

解

周期不变。

$C$

题 5

解

周期不变。

$B$