难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$x^2-\frac{y^2}{3}=1$

解（2）

选 1,2，证 3.

设 $AB:x=my+2$

将双曲线的 1 变为 0，就变成了渐近线的方程

$\{\begin{array}{l}{x}^2-\frac{y^2}{3}=0,3x^2-y^2=0\\ x=my+2\end{array}$

$3(my+2{)}^2-y^2=0$

$y_3+y_4=\frac{-12m}{3m^2-1}$

$x_3+x_4=m(y_1+y_2)+4=\frac{-12m^2+12m^2-4}{3m^2-1}=\frac{-4}{3m^2-1}$

所以 AB 中点 $(\frac{-2}{3m^2-1},\frac{-6m}{3m^2-1})$

要证明 $M$ 也在中点上，因为 M 在直线上，所以只需证 $M$ 的横坐标和中点的横坐标相同，或 $M$ 的纵坐标与中点的纵坐标相同，就能证明 $M$ 点就是 AB 的中点。

$P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$

$\{\begin{array}{l}y-y_1=-\sqrt{3}(x-x_1)\\ y-y_2=\sqrt{3}(x-x_2)\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y-y_1=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}{x}_1+y_1\\ y-y_2=\sqrt{3}x-\sqrt{3}{x}_2+y_2\end{array}$

因为没有第 3 个点来三点共线方程，所以只能硬解两条直线的交点

$x_M=\frac{\sqrt{3}(x_1+x_2)+y_1-y_2}{2\sqrt{3}}$

交点横坐标求出来了，随便代入一个方程，求出的 y 纵坐标是一样的。

比如代入第 2 个方程，交点纵坐标 $y_M=\frac{\sqrt{3}(x_1-x_2)+y_1+y_2}{2}$

现在 $M(x,y)$ 我们通过 $x_1,y_1,x_2,y_2$ 表示出来了。含有 $x_1,y_1,x_2,y_2$ 不好化简，因为是反设的方程，所以将所有 $x_1,x_2$ 代换为 $y_1,y_2$

$x_M=\frac{\sqrt{3}m(y_1+y_2)+y_1-y_2}{2\sqrt{3}}$

$y_M=\frac{\sqrt{3}m(y_1-y_2)+y_1+y_2}{2}$

将 $y_1+y_2$ 代换掉

设 AB: $x=my+n$

$\{\begin{array}{l}{x}^2-\frac{y^2}{3}=1,3x^2-y^2-3=0\\ x=my+n\end{array}$

$(3m^2-1)y^2+6mny+3n^2-3=0$

$y_1+y_2=\frac{-6mn}{3m^2-1}$

$y_1-y_2$ 不好求……

因为 $x_M,y_M$ 在直线 $x=my+2$ 上，所以代入，看看能不能求出 $y_1-y_2$

$\frac{\sqrt{3}m(y_1+y_2)+2\sqrt{3}n+y_1-y_2}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}{m}^2(y_1-y_2)+m(y_1+y_2)}{2}+2$

$\sqrt{3}m(y_1+y_2)+2\sqrt{3}n+y_1-y_2=3m^2(y_1-y_2)+\sqrt{3}m(y_1+y_2)+4\sqrt{3}$

$2\sqrt{3}n+y_1-y_2=3m^2(y_1-y_2)+4\sqrt{3}$

$y_1-y_2=\frac{2\sqrt{3}n-4\sqrt{3}}{3m^2-1}$

$y_M=\frac{\sqrt{3}}{2}m\frac{2\sqrt{3}n-4\sqrt{3}}{3m^2-1}+\frac{-3mn}{3m^2-1}$

$=\frac{-6m}{3m^2-1}$

证毕。

TIP

知道了 2 个点 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2)$，知道了过这 2 个点的直线的斜率 $-\sqrt{3},\sqrt{3}$；

求这 2 条直线的交点，如果通过解直线的方式求交点：

$\{\begin{array}{l}y-y_1=-\sqrt{3}(x-x_1)\\ y-y_2=\sqrt{3}(x-x_2)\end{array}$

$\{\begin{array}{l}y-y_1=-\sqrt{3}x+\sqrt{3}{x}_1+y_1\\ y-y_2=\sqrt{3}x-\sqrt{3}{x}_2+y_2\end{array}$

下式减上式，得 $0=2\sqrt{3}x-\sqrt{3}(x_1+x_2)+y_2-y_1$

可以解得交点横坐标 $x=\frac{\sqrt{3}(x_1+x_2)+y_1-y_2}{2\sqrt{3}}$

交点横坐标求出来了，随便代入一个方程，求出的 y 纵坐标是一样的。

比如代入第 2 个方程，交点纵坐标 $y=\frac{\sqrt{3}(x_1-x_2)+y_1+y_2}{2}$

也就是说，交点的横纵坐标是用 $x_1+x_2,y_1-y_2$ 这类式子来表示的。