难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题统一变量

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 通分错误

已知函数 $f(x)=\frac{1}{2}{x}^2+3ax+2lnx(a\in R)$

（1）讨论函数 $f(x)$ 的单调性

（2）若 $f(x)$ 有两个极值点 $x_1,x_2(x_1,x_2)$，求证：$-\frac{2}{x_1^2}-x_1<f(x_2)<-2(\frac{1}{x_1}-1{)}^2$

第一问

$f^{\prime }(x)=x+3a+\frac{2}{x}$

$=\frac{x^2+3ax+2}{x}$

1、当 $\mathrm{\Delta }=9a^2-8⩽0$ 时，

即 $-\frac{2\sqrt{2}}{3}⩽a⩽\frac{2\sqrt{2}}{3}$ 时，

$f^{\prime }(x)⩾0,f(x)\uparrow ,x>0$

2、当 $\mathrm{\Delta }=9a^2-8>0$ 时，

即 $a>\frac{2\sqrt{2}}{3}$ 或 $a<-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

1）当 $-3a<0,\mathrm{即}a>0$ 时，

$x>0,f^{\prime }(x)⩾0,f^{\prime }(x)\uparrow$

2）当 $-3a>0,\mathrm{即}a<0$ 时，

$x\in (0,\frac{-3a-\sqrt{9a^2-8}}{2}),f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

$x\in (\frac{-3a-\sqrt{9a^2-8}}{2},\frac{-3a+\sqrt{9a^2-8}}{2}),f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

$x\in (\frac{-3a+\sqrt{9a^2-8}}{2},+\mathrm{\infty }),f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

第二问

由题意得，

$x^2+3ax+2=0$ 在 $(0,+\mathrm{\infty })$ 有 2 个解 $x_1,x_2(x_1,x_2)$

所以 $\{\begin{array}{l}\mathrm{\Delta }=9a^2-8>0\\ -3a>0\end{array}$

$a<-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

$x_1+x_2=-3a$

$x_1{x}_2=2$

先证左边

$-\frac{2}{x_1^2}-x_1<f(x_2)$

因为不是 $f(x_1)-f(x_2)$ 类型的题，所以不用比值换元的方法。

错误解法（错误原因，通分错误）

即证 $-\frac{2+x_1^2}{x_1^2}<\frac{1}{2}{x}_2^2+3a{x}_2+2ln{x}_2$

$\frac{3a{x}_1}{x_1^2}<\frac{1}{2}{x}_2^2+3a{x}_2+2ln{x}_2$

$\frac{3a}{x_1}<\frac{3}{2}a{x}_2+2ln{x}_2-1$

$\frac{3a}{2}{x}_2<\frac{3a}{2}{x}_2+2ln{x}_2-1$

即证 $2ln{x}_2-1>0$

因为 $x_1+x_2=\frac{2}{x_2}+x_2=-3a>2\sqrt{2}$

所以 $x_2>\sqrt{2}$

即证 $2ln{x}_2-1>0,x_2>\sqrt{2}$

但是发现证的东西是小于 0 的。这是为什么呢？因为通分错了！

正确解法

可以将式子全部替换为 $x_1$ 或 $x_2$ 的不等式。（注意，$x_1,x_2$ 和 $a$ 都要替换掉）

证左边：

$-\frac{2}{x_1^2}-x_1<\frac{1}{2}{x}_2^2+3[-\frac{1}{3}(\frac{2}{x_2}+x_2)]x_2+2ln{x}_2$

$-\frac{2}{\frac{4}{x_2^2}}-\frac{2}{x_2}<\frac{1}{2}{x}_2^2-(\frac{2}{x_2}+x_2)x_2+2ln{x}_2$

$-\frac{1}{2}{x}_2^2-\frac{2}{x_2}<\frac{1}{2}{x}_2^2-2-x_2^2+2ln{x}_2$

即证 $\frac{1}{2}{x}_2^2-2ln{x}_2+2-\frac{1}{2}{x}_2^2-\frac{2}{x_2}<0,x_2>\sqrt{2}$

令 $\phi (x)=-2lnx+2-\frac{2}{x},x>\sqrt{2}$

${\phi }^{\prime }(x)=-\frac{2}{x}+\frac{2}{x^2}$

$=2\cdot \frac{(-x+1)}{x^2}<0$

所以 $\phi (x)$ 单减

$\phi (x)<\phi (\sqrt{2})<0$

从而得证。

证右边：

$\frac{1}{2}{x}_2^2-2-x_2^2+2ln{x}_2<-2(\frac{x_2}{2}-1{)}^2$

$-2(\frac{x_2}{2}-1{)}^2=-2(\frac{x_2^2}{4}-x_2+1)$

$=-\frac{1}{2}{x}_2^2+2x_2-2$

即证 $\frac{1}{2}{x}_2^2-2-x_2^2+2ln{x}_2<-\frac{1}{2}{x}_2^2+2x_2-2$

即证 $x^2-x^2+2lnx-2x<0,x>\sqrt{2}$

$2lnx-2x<0$

$lnx-x<0$

$x>lnx$

得证。