难度： 困难

标签： 极值点偏移导数问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=x{e}^{-x}(x\in R)$

(1) 求函数 $f(x)$ 的单调区间和极值

(2) 若 $x_1\ne x_2$，且 $f(x_1)=f(x_2)$，证明：$x_1+x_2>2$

法一，逆推，构造函数

解：

(1)

$f^{\prime }(x)=e^{-x}+x{e}^{-x}(-1)$

$=e^{-x}-x{e}^{-x}$

$=e^{-x}(1-x)$

在 $x\in (-\mathrm{\infty },1)$ 上，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增；

在 $x\in (1,+\mathrm{\infty })$ 上，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减；

$f(x{)}_{max}=f(1)=\frac{1}{e}$

有极大值 $\frac{1}{e}$

(2)

证明 $x_1+x_2>2$

不妨设 $x_2>1>x_1$

要证明 $x_1+x_2>2$

即证明 $x_1>2-x_2$

即证明 $f(x_1)>f(2-x_2)$

即证明 $f(x_2)>f(2-x_2)$

即证明 $f(x_2)-f(2-x_2)>0$

设 $F(x)=f(x)-f(2-x),x>1$

$F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-f^{\prime }(2-x)(-1)$

$=e^{-x}(1-x)-[e^{-(2-x)}(1-(2-x))](-1)$

$=e^{-x}(1-x)+[e^{x-2}(x-1)]$

$=(x-1)(e^{x-2}-e^{-x})$

$=(x-1)e^{-x}(e^{2x-2}-1)$

注意上面的求导不用将 x 代入展开，直接在外面求导，然后最后一步到位代入。

$\because 2x-2>0$

$\therefore e^{2x-2}-1>0$

$\because x-1>0$

$\therefore F^{\prime }(x)$ 在 $x\in (1,+\mathrm{\infty })$ 上大于 0

$\therefore F(x)$ 在 $x\in (1,+\mathrm{\infty })$ 上单调递增

$F(1)=f(1)-f(1)=0$

所以 $F(x)>0,x>1$

所以 $f(x)>f(2-x),x>1$

$f(x_1)=f(x_2)>f(2-x_2)$

$x_1>2-x_2$

$x_1+x_2>2$

法二，根据图像意义，构造函数

这个方法也是构造函数，但不是通过要证明的东西反推的。而是根据图像的极值点偏移意义得出的。本质是一样的。

设 $t>0,F(x)=f(1+t)-f(1-t)$

$F^{\prime }(x)=f^{\prime }(1+t)+f^{\prime }(1-t)$

$=e^{-(1+t)}[1-(1+t)]+e^{-(1-t)}[1-(1-t)]$

$=-e^{-t-1}t+e^{t-1}t$

$=t(e^{t-1}-e^{-t-1})$

$=t{e}^{-t-1}(e^{2t}-1)$

所以在 $t\in (0,+\mathrm{\infty })$ 上 $F^{\prime }(x)>0$，$F(x)$ 单调递增

$\because F(0)=f(1)-f(1)=0$

$\therefore F(x)=f(1+t)-f(1-t)>0$

$f(1+t)>f(1-t)$

不妨设 $x_2>1>x_1$

令 $x_2=1+t$

$t=x_2-1$

$\therefore f(x_1)=f(x_2)>f(1-t)$

$\therefore x_1>1-t$

$x_1+x_2-1>1$

$x_1+x_2>2$

问题得证。