08 待定系数与换元法求解通项公式 (重要)(中档)

待定系数法

多了一个常数

什么时候用待定系数法呢？

例如有 $a_{n+1}=a_n+4$，那么它是一个等差数列。

例如有 $a_{n+1}=3a_n$，那么它是一个等比数列。

假如我们在等比数列式子中加了一个常数 4，变成

$a_{n+1}=3a_n+4$，那么它是什么数列呢？

如果我们使用累加法求解它的通项公式，会发现将 $a_n$ 前面的系数为 3，消不掉。

TIP

与之相对，如果系数相同。也不能使用待定系数法，而应使用累加或累乘法。

因为系数相同使用待定系数法，会发现设的系数会被约去，解不出来。

使用累乘法也约不掉。

这个时候我们就可以使用待定系数法，将它构造成一个等比数列。

第一步，我们设出一个常数 $\alpha$

左边写成 $a_{n+1}+\alpha$ 的形式，右边写成 $3(a_n+\alpha )$ 的形式。

即 $a_{n+1}+\alpha =3(a_n+\alpha )$

如果我们令 $b_n=a_n+\alpha$，则 $b_{n+1}=3b_n$，这是一个等比数列。

我们将式子打开，变成

$a_{n+1}=3a_n+3\alpha -\alpha$

为了保证和原式子相同，我们就让 $2\alpha =4$，即 $\alpha =2$

所以原式变为

$a_{a+1}+2=3(a_n+2)$

$b_{n+1}=3b_n$

$\therefore b_n=b_1\cdot 3^{n-1}$

假设 $a_1=1$

$b_1=1+2=3$

$b_n=3^n=a_n+2$

$a_n=3^n-2$.

多了一个变量 n

比如有题目 $a_{n+1}=3a_n+4n$，让我们求解它的通项同时。

我们需要凑两个未知数 $\alpha$ 和 $\beta$。

原始等于

$a_{n+1}+\alpha (n+1)+\beta =3(a_n+\alpha n+\beta )$

化简得

$a_{n+1}=3a_n+3\alpha n-\alpha n-\alpha +3\beta -\beta =3a_n+2\alpha n+2\beta -\alpha$

$\{\begin{array}{l}2\alpha =4\\ 2\beta -\alpha =0\end{array}\{\begin{array}{l}\alpha =2\\ \beta =1\end{array}$

所以可以将原始改写成

$a_{n+1}+2(n+1)+1=3(a_n+2n+1)$

接下来的步骤就很简单了。

多了一个变量 n 的平法

比如题目给出条件 $a_{n+1}=3a_n+4n^2$，

那么我们可以这样待定系数

$a_{n+1}+r(n+1{)}^2+\alpha (n+1)+\beta =3(a_n+r{n}^2+\alpha n+\beta )$

多了一个指数

同理

$a_{n+1}=2a_n+3\times 5^2$

变成

$a_{n+1}+\alpha 5^{n+1}=2(a_n+\alpha 5^n)$

换元法

当一个题目中某个东西多次出现，或则有一个东西特别讨厌的时候（比如开根，分数），就可以考虑使用换元法。换元法不一定能解出题，但能给你多提供一个思路。

例如：

$a_{n+1}=\frac{1}{16}(1+4a_n+\sqrt{1+24a_n})$

令 $\sqrt{1+24a_n}=b_n$

$a_n=\frac{b_n^2-1}{24}$

原式就变为

$\frac{b_{n+1}^2}{24}=\frac{1}{16}(1+\frac{b_n^2}{6}+b_n)$

$\frac{2}{3}{b}_{n+1}^2-1=1+\frac{b_n^2-1}{6}+b_n$

$4(b_{n+1}^2-1)=6+b_n^2-1+6b_n=b_n^2+6b_n+5$

$4b_{n+1}^2=b_n^2+6b_n+9=(b_n+3{)}^2$

$2b_{n+1}=b_n+3$

$b_{n+1}=\frac{1}{2}{b}_n+\frac{3}{2}$

又是一个等比数列加一个常数项的体型，所以我们可以再使用待定系数法求解 $b_n$ 的通项公式。