难度： 困难

标签： 极值点偏移导数问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知函数 $f(x)=lnx-x+a$，若 $f(x)$ 有两个零点，$x_1,x_2$

（1）求参数 $a$ 的取值范围；

（2）证明：$x_1+x_2>2$

解

(1)

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x},x>0$

在 $x\in (0,1)$ 上 $f^{\prime }(x)>0,f(x)$ 单增

在 $x\in (1,+\mathrm{\infty })$ 上 $f^{\prime }(x),f(x)$ 单减

$f(x{)}_{max}=f(1)=a-1>0$

$a>1$

法一，解不出来

(2)

设 $x_2>1>x_1>0$

要证 $x_1+x_2>2$

即证 $x_1>2-x_2$

$f(x_2)=f(x_1)>f(2-x_2)$

令 $F(x)=f(x)-f(2-x),x>1$

$F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)+f^{\prime }(2-x)$

$=\frac{1}{x}-1-[\frac{1}{2-x}-1](-1)$

$=\frac{1}{x}-1+\frac{1}{2-x}-1=\frac{2(1+x^2-2x)}{x(2-x)}=\frac{2(x-1{)}^2}{x(2-x)}$

在 $x\in (1,2)$ 时，$F^{\prime }(x)>0,F(x)$ 单增

在 $x\in (2,+\mathrm{\infty })$ 时，$F^{\prime }(x)<0,F(x)$ 单减

$F(x{)}_{max}=F(2)$ 不好求出其值

下面判断端点与 0 的关系。

$F(1)=0$

$F(+\mathrm{\infty })$ 不好判断与 0 的关系。虽然按道理它应该大于零，但是不好证明。

法二，先构造函数求导，最后看情况规定定义域

设 $x_2>1>x_1>0$

令 $F(x)=f(x)-f(2-x)$

$F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-f^{\prime }(2-x)$

$=\frac{2(x-1{)}^2}{x(2-x)}$

这里我们有两种定义域可以规定，1 是 $x\in (0,1)$，2 是 $x\in (1,+\mathrm{\infty })$，

注意到规定 $x\in (0,1)$ 更容易求解出问题，

所以规定 $x\in (0,1)$

那么在 $x\in (0,1)$ 时 $F^{\prime }(x)>0$

所以 $F(x)$ 在 $x\in (0,1)$ 上单调递增

因为 $F(1)=f(1)-f(1)=0$

所以 $F(x)<0,x\in (0,1)$

$f(x_2)=f(x_1)<f(2-x_1)$

因为 $x_2>1,2-x_1>1$

$f(x)$ 在 $(1,+\mathrm{\infty })$ 上单调递减

所以 $x_2>2-x_1$

$x_1+x_2>2$

问题得证。

易错点

如果使用构造函数方法，我们规定构造函数的定义域应该让题目变得好证明。

比如这题。如果规定作用域 > 1，那么当 $x=2$ 时导数式没有意义。且我们想让 $F(x)>0$，但 $F(x)$ 在 $x\in (1,+\mathrm{\infty })$ 是先增后减的，我们知道 $F(1)=0$，但是 $x\to +\mathrm{\infty }$ 时不好确定它与 0 的大小关系。

但如果我们规定定义域为 $(0,1)$，那么 $F(x)$ 在 $(0,1)$ 上单增，且 $F(1)=0$，很轻松就证明了 $F(x)<0$。

所以以后如果再使用构造函数法来做极值点偏移，可以先把构造函数写出来，求导后再规定它的作用域。

扩展：

（3）证明：$f^{\prime }(\frac{x_1+x_2}{2})<0$

解析

$f^{\prime }(\frac{x_1+x_2}{2})<0⟺\frac{x_1+x_2}{2}>1⟺x_1+x_2>2$。

和第二问一样是问的同一个东西！

（4）若 $x_1>x_2$，证明：$2x_1+x_2>3$

解析

$2x_1+x_2>3$ 其实是一个更弱的不等式（范围更广的不等式）。

$⟺$

$\frac{2x_1+x_2}{3}>1$

$⟺$

由糖水不等式得，

$\frac{2x_1+x_2}{3}>\frac{x_1+x_2}{2}>1$