难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\overrightarrow{MA}=(2-x,\sqrt{3}-y)$

$\overrightarrow{MB}=(-2-x,-\sqrt{3}-y)$

$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=x^2-4+y^2-3=\frac{x^2}{4}-1$

$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{6}=1$

解（2）

设 $P(x_0,0)$

设 $l_1:x=m_{1}y+x_0,k_1=\frac{1}{m_1}$

$\{\begin{array}{l}3x^2+4y^2-24=0\\ x=m_{1}y+x_0\end{array}$

$3(m_{1}y+x_0{)}^2+4y^2-24=0$

$(3m_1^2+4)y^2+6m_1{x}_{0}y+3x_0^2-24=0$

$y_1+y_2=\frac{-6m_1{x}_0}{3m_1^2+4}$

$x_1+x_2=m_1(y_1+y_2)+2x_0=\frac{-6m_1^2{x}_0}{3m_1^2+4}+2x_0=\frac{8x_0}{3m_1^2+4}$

$G(\frac{4x_0}{3m_1^2+4},\frac{-3m_1{x}_0}{3m_1^2+4})$

设 $l_2:x=m_{2}y+x_0,k_2=\frac{1}{m_2}$

同理，$H(\frac{4x_0}{3m_2^2+4},\frac{-3m_2{x}_0}{3m_2^2+4})$

设 N 点坐标为 $(x_0,y_N)$

根据三点共线法，

$\frac{y_N+\frac{3m_1{x}_0}{3m_1^2+4}}{x_0-\frac{4x_0}{3m_1^2+4}}=\frac{y_N+\frac{3m_2{x}_0}{3m_1^2+4}}{x_0-\frac{4x_0}{3m_2^2+4}}$

分子分母同乘 $3m_1^2+4$ 或 $3m_2^2+4$。

$\frac{(3m_1^2+4)y_N+6m_1{x}_0}{3m_1^2{x}_0}=\frac{(3m_2^2+4)y_N+6m_2{x}_0}{3m_2^2{x}_0}$

$(3+\frac{4}{m_1^2})y_N+\frac{3x_0}{m_1}=(3+\frac{4}{m_2^2})y_N+\frac{3x_0}{m_2}$

$y_N(\frac{4}{m_1^2}-\frac{4}{m_2^2})=3x_0(\frac{1}{m_2}-\frac{1}{m_1})$

$4y_N(\frac{m_2^2-m_1^2}{m_1^2{m}_2^2})=3x_0(\frac{m_1-m_2}{m_1{m}_2})$

$4y_N\frac{m_2+m_1}{m_1{m}_2}=6x_0\frac{-1}{1}$

$y_N=-3x_0\frac{m_1{m}_2}{4(m_1+m_2)}$

$k_3=\frac{-3m_1{m}_2}{4(m_1+m_2)}$

$k_3(k_1+k_2)=-\frac{3}{4}$