10 自由落体高度差问题

题型特征

典型的如雨滴过窗户题。这类题一般已知自由落体中间两点高度差和时间。

例如：

已知某一物体从楼上自由落下，通过高为 2.0m 的窗口所用时间为 0.2s，求物体是从距离窗顶多高处自由落下的。（g=10m/s^2）

思路梳理

从起点到已知的上下两点，列两个 $h=\frac{1}{2}g{t}^2$ 方程。

非质点物体分析位移

思路：盯死一头！

例题

题 1

已知某一物体从楼上自由落下，通过高为 2.0m 的窗口所用时间为 0.2s，求物体是从距离窗顶多高处自由落下的。（g=10m/s^2）

解

$\{\begin{array}{l}h=\frac{1}{2}g{t}^2\\ h+2=\frac{1}{2}g(t+0.2{)}^2\end{array}$

联立可以解得 $t=0.9s$

$h=\frac{1}{2}g{t}^2=4.05m$

题 2

一物体从某高处自由下落，落地前最后 1s 位移是 10m，不计空气阻力，重力加速度为 $g=10m/s^2$。则下列说法正确的是（）

$A.\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{在}\mathrm{空}\mathrm{中}\mathrm{运}\mathrm{动}\mathrm{时}\mathrm{间}\mathrm{为}2s$

$B.\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{在}\mathrm{空}\mathrm{中}\mathrm{运}\mathrm{动}\mathrm{时}\mathrm{间}\mathrm{为}1.5s$

$C.\mathrm{释}\mathrm{放}\mathrm{时}\mathrm{离}\mathrm{地}\mathrm{高}\mathrm{度}\mathrm{为}15m$

$D.\mathrm{释}\mathrm{放}\mathrm{时}\mathrm{离}\mathrm{地}\mathrm{高}\mathrm{度}\mathrm{为}11.25m$

解

$\{\begin{array}{l}h=\frac{1}{2}g{t}^2\\ h+10=\frac{1}{2}g(t+1{)}^2\end{array}$

解得 $t=0.5$

$h=1.25$

所以 $t_{\mathrm{总}}=t+1=1.5$

$h_{\mathrm{总}}=1.25+10=11.25$

所以选 $BD$

题 3

屋檐上每隔相同的时间间隔滴下一滴水，当第 5 滴正欲滴下时，第 1 滴刚好到达地面，而第 3 滴与第 2 滴分别位于高为 1m 的窗户的上、下沿，如图所示，问：

（1）此屋檐离地面多高？

（2）滴水的时间间隔是多少？（g 取 10）

解

可以根据零点推论快速得出方便得出答案。

因为 $x_{5-4}:x_{4-3}:x_{3-2}:x_{2-1}=1:3:5:7$

$x_{3-2}=1m$

所以 1 份为 $\frac{1}{5}=0.2m$

总的高度就为 16 份 $16\times 0.2=3.2m$

$h=3.2m$

再根据 $0.2=\frac{1}{2}g{T}^2$

解得 $T=0.2s$

因为零点推论只适用于选择、填空题，所以以下为该写的步骤：

$h=\frac{1}{2}g(2T{)}^2$

$h+1=\frac{1}{2}g(3T{)}^2$

解得 $T=0.2s$

$H=\frac{1}{2}g(4T{)}^2=3.2m$

题 4

如图所示，一个吊在房顶，长为 1m 的铁链，在距离悬点 O 正下方 21m 处有一点 A。今将悬点剪断，铁链做自由落体运动，从铁链刚到达 A 点开始计时，铁链完全通过 A 点需多长时间？（g=10）

解

死盯铁链的顶端。

$H-L=\frac{1}{2}g{t}_1^2$

$H=\frac{1}{2}g{t}_2^2$

$20=5t_1^2$

$21=t{t}_2^2$

$t_1=2s$

$t_2=\sqrt{4.2}s$

$\mathrm{\Delta }t=t_2-t_1=(\sqrt{4.2}-2)s$

题 5

一根长为 10m 的直杆，上端与 A 点对齐，杆由 A 点自由下落，求它通过 A 点正下方窗户 BC 所需的时间？已知窗户上端距 A 点的距离为 30m，窗户的高为 1.25m，g=10.

解

死盯一端（直杆的顶端）

$\{\begin{array}{l}30-10=\frac{1}{2}g{t}_1^2\\ 30+1.25=\frac{1}{2}g{t}_2^2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}20=5t_1^2\\ 31.25=5t_2^2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{t}_1=2s\\ t_2=2.5s\end{array}$

$\mathrm{\Delta }t=t_2-t_1=0.5s$