难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题定点定值问题切线问题双切线问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$c+a=3$

$x^2=2\cdot 2y,p=2$

$c=\frac{p}{2}=1$

$a=2,b^2=a^2-c^2=4-1=3$

椭圆：$\frac{y^2}{4}+\frac{x^2}{3}=1$

解（2）

设 $A(x_1,\frac{x_1^2}{4},B(x_2,\frac{x_2^2}{4}))$

直线 $MA:y-\frac{x_1^2}{4}=\frac{x_1}{2}(x-x_1)$

$MB:y-\frac{x_2^2}{4}=\frac{x_2}{2}(x-x_2)$

解得 $x=\frac{x_1+x_2}{2},y=\frac{x_1{x}_2}{4}$

所以 $\frac{x_1+x_2}{2}=x_0,\frac{x_1{x}_2}{4}=y_0$

设直线 $AB:x_{0}x=2(y+y_0)$

即 $x_{0}x-2y-2y_0=0,y=\frac{x_0}{2}x-y_0$

$|AB|=\sqrt{1+\frac{x_0^2}{4}}|x_1-x_2|$

$=\sqrt{1+\frac{x_0^2}{4}}|\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}|$

$=\sqrt{1+\frac{x_0^2}{4}}|\sqrt{4x_0^2-16y_0}|$

$h=\frac{|x_0^2-4y_0|}{\sqrt{x_0^2+4}}$

$S=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}|x_0^2-4y_0|2\sqrt{x_0^2-4y_0}$

$x_0^2=3-\frac{3y_0^2}{4}$

$=\frac{1}{2}|(-\frac{3y_0^2}{4}-4y_0+3{)}^{\frac{3}{2}}|,y_0\in [-2,2]$

对称轴为 $-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{-\frac{3}{2}}=-\frac{8}{3}<2$

所以，当 $y_0=-2,S=\frac{1}{2}(-3+8+3{)}^{\frac{3}{2}}=\frac{1}{2}{8}^{\frac{3}{2}}$

当 $y_0=2,S=\frac{1}{2}|(-3-8+3{)}^{\frac{3}{2}}|=\frac{1}{2}{8}^{\frac{3}{2}}$

所以 $S_{max}=\frac{1}{2}\times 2^{\frac{9}{2}}$

$=2^{-1}\times 2^{\frac{9}{2}}=2^{\frac{7}{2}}$

$=2^{\frac{1}{2}}\times 2^{\frac{6}{2}}=8\sqrt{2}$

TIP

求 $S$，用麻花减公式 $S=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$，其实效果不如公式

$\frac{1}{2}\times \mathrm{弦}\mathrm{长}\times \mathrm{顶}\mathrm{点}\mathrm{到}\mathrm{弦}\mathrm{的}\mathrm{距}\mathrm{离}$。

后者可能会约去一些东西，比麻花减公式更简单。